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【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}=(-a,b,0)\ ,\ \overrightarrow{\sf AC}=(-a,0,c)\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle ABC=\frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\sf AB}|^2|\overrightarrow{\sf AC}|^2-\left(\overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf AC}\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\sqrt{(a^2+b^2)(a^2+c^2)-(a^2)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}\end{align*}}$
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AB=\sqrt{a^2+b^2}\end{align*}}$
なので、ABを底辺としたときの高さは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{\frac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}{a^2+b^2}}\end{align*}}$
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_1=\frac{1}{2}ab\ ,\ S_2=\frac{1}{2}bc\ ,\ S_3=\frac{1}{2}ca\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow ab=2S_1\ ,\ bc=2S_2\ ,\ ca=2S_3\end{align*}}$
これと(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}\sqrt{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\sqrt{(2S_1)^2+(2S_2)^2+(2S_3)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{{S_1}^2+{S_2}^2+{S_3}^2}\end{align*}}$
これらより、
3S2－(S1＋S2＋S3)2
＝3(S12＋S22＋S32)－(S12＋S22＋S32＋2S1S2＋2S2S3＋2S3S1)
＝2S12＋2S22＋2S32－2S1S2－2S2S3－2S3S1
＝(S1－S2)2＋(S2－S3)2＋(S3－S1)2≧0 ･･････①
よって、
3S2≧(S1＋S2＋S3)2
ここで、S＞0、S1＋S2＋S3＞0なので、平方根をとると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3S\geqq S_1+S_2+S_3\end{align*}}$
(３)
(２)の①で等号が成立するのは、
S1=S2 かつ S2=S3 かつ S3=S1
⇔ ab=bc=ca
⇔ a=b=c (∵ a、b、c＞0)
よって、(２)の不等式で等号が成立するのは、a=b=cのときである。
