青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関西の私立大学　.関西大　理系　2011（2/5）

2011関西大　理系数学（2月5日）　１

第1問

　　xの関数
　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{x}{x^2+1}\end{align*}}$
　　がある。

　(1) ｆ(x)の増減を調べて、関数y=ｆ(x)のグラフの概形を解答欄の
　　　座標平面上にかけ。ただし、曲線の凹凸は求めなくてよい。

　(2) aをa≧0を満たす実数として、座標平面上でa≦x≦a+1かつ
　　　 0≦y≦ｆ(x)で表される領域をD(a)とする。
　　　(ⅰ) D(a)の面積をS(a)とする。S(a)を求めよ。また、S(a)が
　　　　　最大になるときのaの値を求めよ。
　　　(ⅱ) D(0)をx軸の周りに回転してできる立体の体積を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(1)
　　　まず
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (-x)=\frac{-x}{(-x)^2+1}=-\frac{x}{x^2+1}=-f\ (x)\end{align*}}$
　　　となるので、
　　　ｆ(x)は奇関数であり、グラフは原点について対称になる。
　　　ｆ(x)の導関数は、　
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\frac{1\cdot(x^2+1)-x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}\end{align*}}$
　　　となり、ｆ’(x)=0となるのは、x=±1のとき。
　　　　　　
　　　これらより、y=ｆ(x)のグラフは下図のようになる。

　　　　　　　　　　　　　　

　(2)
　　　(ⅰ)
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ (a)=\int_a^{a+1}\ \frac{x}{x^2+1}\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_a^{a+1}\ \frac{1}{2}\cdot\frac{(x^2+1)'}{x^2+1}\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left[\log (x^2+1)\right]_a^{a+1}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{2}\log\{(a+1)^2+1\}-\frac{1}{2}\log(a^2+1)\ \ }\end{align*}}$
　　　　　これをaで微分すると、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s\ '(a)=\frac{1}{2}\cdot\frac{2(a+1)}{(a+1)^2+1}-\frac{1}{2}\cdot\frac{2a}{a^2+1}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{(a+1)(a^2+1)-a\{(a+1)^2+1\}}{\{(a+1)^2+1\}(a^2+1)}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{a^2+a-1}{\{(a+1)^2+1\}(a^2+1)}\end{align*}}$
　　　　　S’(a)=0となるのは、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\frac{-1+\sqrt5}{2}\ \ (>0)\end{align*}}$
　　　　　のときであり、増減表は下のようになる。
　　　　　　　
　　　　　よって、S(a)が最大になるときのaの値は、
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a=\frac{-1+\sqrt5}{2}\ \ }\end{align*}}$

　　　(ⅱ)
　　　　　求める体積をVとすると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\pi\int_0^1\left(\frac{x}{x^2+1}\right)^2\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\int_0^1\frac{x^2}{(x^2+1)^2}\ dx\end{align*}}$ ．
　　　　　ここで、x=tan$\scriptsize\sf{\theta}$ と置換すると、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dx}{d\theta}=\frac{1}{\cos^2\theta}\end{align*}}$
　　　　　であり、
　　　　　x：0→1のとき、$\scriptsize\sf{\theta}$ ：0→$\scriptsize\sf{\pi}$ /4となるので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\pi\int_0^{\pi/4}\frac{\tan^2\theta}{(\tan^2\theta +1)^2}\cdot\frac{d\theta}{\cos^2\theta}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\int_0^{\pi/4}\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta\cdot\left(\frac{1}{\cos^2\theta}\right)^2}\cdot\frac{d\theta}{\cos^2\theta}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\int_0^{\pi/4}\ \sin^2\theta\ d\theta\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{2}\int_0^{\pi/4}\ (1-2\cos 2\theta)\ d\theta\end{align*}}$　　←倍角公式
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{2}\left[\theta-\frac{1}{2}\sin 2\theta\right]_0^{\pi/4}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{\pi}{2}\left(\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\right)\ \ }\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \end{align*}}$

　　x²+1の形があれば、普通はx=tan$\scriptsize\sf{\theta}$ と置換しますよね。
　　

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2018/11/26(月) 01:16:00|

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2011関西大　理系数学（2月5日）　２

第2問

　　Ｏ(0，0，0)を原点とする座標空間内のある平面上に、
　　正六角形ABCDEFがあり、点A(3，1，ｔ)、点B(4，2，3)、
　　点C(3，4，2)である。この正六角形をTとし、Tの外接円の
　　中心をＭ、三角形BCＭの重心をGとする。次の　　　をうめよ。

　(1) ｔ=　①　であり、線分ACの中点の座標は　②　、点Ｍの
　　　座標は　③　、点Gの座標は　④　である。

　(2) Tの面積は　⑤　である。

　(3) p、qを定数とする。点H(p，q，6)と点Gを通る直線がTに
　　　垂直であるとき、p=　⑥　、q=　⑦　である。このとき、
　　　六角錐H－ABCDEFの体積は　⑧　である。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　① 5　　　　② $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(3\ ,\ \frac{5}{2}\ ,\ \frac{7}{2}\right)\end{align*}}$　　　　③ (2，3，4)　　　　④ (3，3，3)
　
　⑤ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 9\sqrt3\end{align*}}$　　　　⑥ 6　　　　⑦ 6　　　　⑧ 27

【解説】
　(1)
　　　まず、AB=BCなので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{(4-3)^2+(2-1)^2+(3-t)^2}=\sqrt{(3-4)^2+(4-2)^2+(2-3)^2}\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sqrt{2+(3-t)^2}=\sqrt{6}\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (t-3)^2=4\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t=5\ ,\ 1\end{align*}}$ ．
　　　また、AC=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ BCなので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{(3-3)^2+(4-1)^2+(2-t)^2}=\sqrt3\cdot\sqrt6\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (t-2)^2=9\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t=5\ ,\ -1\end{align*}}$ ．
　　　これらを同時に満たすｔの値は、ｔ=5 ．

　　　ACの中点をＮとすると、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf N\ \left(\frac{3+3}{2}\ ,\ \frac{1+4}{2}\ ,\ \frac{5+2}{2}\right)=\underline{\ \left(3\ ,\ \frac{5}{2}\ ,\ \frac{7}{2}\right)\ \ }\end{align*}}$ ．
　　　四角形ABCＭはひし形になるので、
　　　Ｎは対角線BＭの中点となる。
　　　Ｍ(x，y，z)とおくと、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{4+x}{2}\ ,\ \frac{2+y}{2}\ ,\ \frac{3+z}{2}\right)=\left(3\ ,\ \frac{5}{2}\ ,\ \frac{7}{2}\right)\end{align*}}$
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ M (x ,\ y ,\ z)=\underline{\ \left(2\ ,\ 3\ ,\ 4\right)\ \ }\end{align*}}$ ．
　　　さらに、Gは△BCＭの重心なので、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf G\ \left(\frac{4+3+2}{3}\ ,\ \frac{2+4+3}{3}\ ,\ \frac{3+2+4}{3}\right)=\underline{\ (3\ ,\ 3\ ,\ 3)\ \ }\end{align*}}$ ．

　(2)
　　　Tの面積をSとおくと、
　　　Sは一辺が BC（=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt6\end{align*}}$ ）の正三角形BCＭの面積の6倍なので、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=6\times\left(\frac{1}{2}\cdot\sqrt6\cdot\sqrt6\cdot\sin 60^{\circ}\right)=\underline{\ 9\sqrt3\ \ }\end{align*}}$

　(3)
　　　Gは△BCＭの重心なので、BG=CG=ＭGであり、
　　　GH⊥△BCＭなので、BH=CH=ＭHとなる。
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{(p-4)^2+(q-2)^2+(6-3)^2}=\sqrt{(p-3)^2+(q-4)^2+(6-2)^2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{(p-2)^2+(q-3)^2+(6-4)^2}\end{align*}}$
　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -8p-4q+29=-6p-8q+41=-4p-6q+17\end{align*}}$
　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ p=q=6\ \ }\end{align*}}$ ．
　　　このとき、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf GH=\sqrt{(6-3)^2+(6-3)^2+(6-3)^2}=3\sqrt3\end{align*}}$
　　　なので、六角錐H－ABCDEFの体積は、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\ S\cdot GH=\frac{1}{3}\cdot9\sqrt3\cdot3\sqrt3=\underline{\ 27\ \ }\end{align*}}$

　　ベクトルを使って計算してもいいと思います。　　

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2018/11/26(月) 01:17:00|

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2011関西大　理系数学（2月5日）　３

第3問

　　Ｏ(0，0)を原点とする座標平面上の2点(1，0)、(0，1)が、
　行列Ｍの表す1次変換によってそれぞれ $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(-1\ ,\ -\frac{3}{2}\right)\ \ ,\ \ \left(\frac{1}{2}\ ,\ \frac{1}{2}\right)\end{align*}}$
　に移されるとする。また、ｎを自然数とする。次の　　　をうめよ。

　(1) Ｍ=　①　であり、Ｍ²=　②　、Ｍ³=　③　である。

　(2) 点(1，0)が、行列Ｍ³ⁿ、Ｍ³ⁿ⁺¹、Ｍ³ⁿ⁺²の表す1次変換に
　　　よってそれぞれ点P_n、Q_n、R_nに移されるとする。このとき、
　　　点P_nの座標は　④　、点Q_nの座標は　⑤　、点R_nの
　　　座標は　⑥　である。

　(3) (2)で求めた3点P_n、Q_n、R_nを頂点とする三角形の面積を
　　　 S_nとする。S_nはｎを用いて　⑦　と表され、$\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^{\infty}\ S_n=\end{align*}}$ 　⑧　
　　　である。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　① $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf -2&\sf 1 \\ \sf -3 & \sf 1 \end{pmatrix}\end{align*}}$　　　　　② $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf -1 \\ \sf 3 & \sf -2 \end{pmatrix}\end{align*}}$　　　　③ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{8}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 1 \end{pmatrix}\end{align*}}$　　　

　④ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{8^n}\ ,\ 0\right)\end{align*}}$　　　　　⑤ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(-\frac{1}{8^n}\ ,\ -\frac{3}{2\cdot 8^n}\right)\end{align*}}$　　　　⑥ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{4\cdot 8^n}\ ,\ \frac{3}{4\cdot 8^n}\right)\end{align*}}$

　⑦ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{48}\end{align*}}$

【解説】
　　　　以下、2次の単位行列をE、零行列をＯとする。

　(1)
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M\ \binom{1}{0}=\binom{-1}{-\frac{3}{2}}\ \ ,\ \ M\ \binom{0}{1}=\binom{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}\end{align*}}$
　　　より、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M\ \begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf -1 &\frac{1}{2} \\ \sf -\frac{3}{2} &\sf \frac{1}{2}\end{pmatrix}\ \ \Leftrightarrow\ \ ME=\begin{pmatrix}\sf -1 &\frac{1}{2} \\ \sf -\frac{3}{2} &\sf \frac{1}{2}\end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ M=\underline{\ \frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf -2&\sf 1 \\ \sf -3 & \sf 1 \end{pmatrix}\ \ }\end{align*}}$ ．
　　　これより、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2\begin{pmatrix} \sf -2&\sf 1 \\ \sf -3 & \sf 1 \end{pmatrix}=\underline{\ \frac{1}{4}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf -1 \\ \sf 3 & \sf -2 \end{pmatrix}\ \ }\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M^3=\frac{1}{4}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf -1 \\ \sf 3 & \sf -2 \end{pmatrix}\cdot\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf -2&\sf 1 \\ \sf -3 & \sf 1 \end{pmatrix}=\underline{\ \frac{1}{8}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 1 \end{pmatrix}\ \ }\end{align*}}$

　(2)
　　　(1)より
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M^{3n}=\left(M^3\right)^n=\left(\frac{1}{8}\ E\right)^n=\frac{1}{8^n}\ E\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M^{3n}\ \binom{1}{0}=\frac{1}{8^n}\ E\ \binom{1}{0}=\frac{1}{8^n}\binom{1}{0}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M\cdot M^{3n}\binom{1}{0}=\frac{1}{8^n}\cdot\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf -2&\sf 1 \\ \sf -3 & \sf 1 \end{pmatrix}\binom{1}{0}=\frac{1}{2\cdot8^n}\ \binom{-2}{-3}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M^2\cdot M^{3n}\binom{1}{0}=\frac{1}{8^n}\ \cdot\frac{1}{4}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf -1 \\ \sf 3 & \sf -2 \end{pmatrix}\binom{1}{0}=\frac{1}{4\cdot 8^n}\ \binom{1}{3}\end{align*}}$ ．
　　　よって、P_n、Q_n、R_nの座標は、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ P_n\left(\frac{1}{8^n}\ ,\ 0\right)\ \ ,\ \ Q_n\left(-\frac{1}{8^n}\ ,\ -\frac{3}{2\cdot 8^n}\right)\ \ ,\ \ R_n\left(\frac{1}{4\cdot 8^n}\ ,\ \frac{3}{4\cdot 8^n}\right)\ \ }\end{align*}}$

　(3)
　　　(2)より、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf P_nQ_n}=\left(-\frac{1}{8^n}-\frac{1}{8^n}\ ,\ -\frac{3}{2\cdot 8^n}-0\right)=\frac{1}{8^n}\left(-2\ ,\ -\frac{3}{2}\right)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf P_nR_n}=\left(\frac{1}{4\cdot 8^n}-\frac{1}{8^n}\ ,\ \frac{3}{4\cdot 8^n}-0\right)=\frac{1}{8^n}\left(-\frac{3}{4}\ ,\ \frac{3}{4}\right)\end{align*}}$
　　　となるので、△P_nQ_nR_nの面積S_nは、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_n=\frac{1}{2}\left|\left(\frac{1}{8^n}\right)^2\left\{-2\cdot\frac{3}{4}-\left(-\frac{3}{2}\right)\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)\right\} \right|=\underline{\ \frac{21}{16\cdot 64^n}\ \ }\end{align*}}$ ．
　　　これより、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^{\infty}\ S_n=\frac{21}{16\cdot 64}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{64}}=\underline{\ \frac{1}{48}\ \ }\end{align*}}$ .

　　ひたすら計算です！　　

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2018/11/26(月) 01:18:00|

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2011関西大　理系数学（2月5日）　４（１）～（３）

第4問

　　次の　　　をうめよ。

　(1) 関数ｆ(x)=sinx－$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ cosx+1（0≦x≦$\small\sf{\pi}$ ）がある。
　　　方程式ｆ(x)=0の解は　①　である。また、ｆ(x)の最大値と
　　　最小値の差は　②　である。

　(2) 3桁の自然数全体の集合をＵとし、Ｕから要素を1つ選ぶ。
　　　　選んだ要素が3の倍数である確率は　③　である。また、
　　　選んだ要素の百の位の数をa、十の位の数をb、一の位の
　　　数をcとする。このとき、a＞b＞cである確率は　④　である。
　　　また、a、b、cがすべて異なる確率は　⑤　である。

　(3) 半径が2の円Cがあり、その中心をＯとする。点Ｏから4だけ
　　　離れた点Pから2本の接線を引く。2つの接点をA、A’とする
　　　とき、線分APの長さは　⑥　であり、2本の接線と円Cの
　　　短い方の弧AA’とで囲まれる部分の面積は　⑦　である。
　　　また、円C上に∠PＯB=90°となる点Bをとり、線分BPと
　　　円Cとの交点のうちBと異なる点から線分ＯPに垂線を下ろす。
　　　この垂線と線分ＯPとの交点をHとするとき、PH=　⑧　で
　　　ある。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　① $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{6}\end{align*}}$　　　　② $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2+\sqrt3\end{align*}}$　　　　③ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$　　　　④ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{15}\end{align*}}$　　　　

　⑤ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{18}{25}\end{align*}}$　　　　⑥ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\sqrt3\end{align*}}$　　　　⑦ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4\sqrt3-\frac{4}{3}\ \pi\end{align*}}$　　　　⑧ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{12}{5}\end{align*}}$　　　　

【解説】

　(1)　
　　　ｆ(x)の右辺を合成すると、
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=2\left(\frac{1}{2}\sin x-\frac{\sqrt3}{2}\cos x\right)+1=2\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+1\end{align*}}$
　　　となり、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{\pi}{3}\leqq x-\frac{\pi}{3}\leqq \frac{2}{3}\pi \end{align*}}$　････(ア)
　　　なので、
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x-\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{6}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ x=\frac{\pi}{6}\ \ }\end{align*}}$ ．
　　　一方、(ア)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{\sqrt3}{2}\leqq \sin\left(x-\frac{\pi}{3} \right) \leqq 1\ \ \Leftrightarrow\ \ 1-\sqrt3\leqq f\ (x)\leqq 3\end{align*}}$
　　　なので、最大値と最小値の差は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3-\left(1-\sqrt3\right)=\underline{\ 2+\sqrt3\ \ }\end{align*}}$

　(2)
　　　集合Ｕの要素の個数は、
　　　　　　　999－100+1=900個
　　　であり、この中に含まれる3の倍数は、
　　　102、105、･･･、999 であり、その個数は、
　　　　　　　(999－102)÷3+1=300個．
　　　よって、3の倍数を選ぶ確率は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{300}{900}=\underline{\ \frac{1}{3}\ \ }\end{align*}}$ ．

　　　0～9の中から異なる3つの数を選ぶ組み合わせは、
　　　　　　　　₁₀C₃=120通り．
　　　a＞b＞cより、3数の並び方は1通りに決まるので、
　　　a＞b＞cとなる確率は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{120}{900}=\underline{\ \frac{2}{15}\ \ }\end{align*}}$ ．

　　　0～9の中から異なる3数を並べる順列は、
　　　　　　　　₁₀P₃=720通り．
　　　このうちで、a=0となるものは、
　　　　　　　　₉P₂=72通り．
　　　よって、a、b、cがすべて異なる確率は、　　　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{720-72}{900}=\underline{\ \frac{18}{25}\ \ }\end{align*}}$ ．

　(3)
　　　ＯA⊥APより、△AＯPで三平方の定理を用いると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AP=\sqrt{OP^2-OA^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\underline{\ 2\sqrt3\ \ }\end{align*}}$ ．
　　　∠PＯA=∠PＯA’=60°なので、
　　　　　　　△PＯA+△PＯA’－扇形ＯAA’
　　　を計算すると、
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(2\times 2\sqrt3\times\frac{1}{2}\right)\times 2-2^2\ \pi\times\frac{120}{360}=\underline{\ 4\sqrt3-\frac{4}{3}\ \pi\ \ }\end{align*}}$ ．
　
　　　△BＯPで三平方の定理を用いると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf BP=\sqrt{OP^2+OB^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt5\end{align*}}$ ．
　　　円CとPBの交点をDとすると、
　　　方べきの定理より、

　　　　　　　　PB・PD=PA²
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2\sqrt5\cdot PD=(2\sqrt3)^2\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ PD=\frac{6\sqrt5}{5}\end{align*}}$ ．
　　　△PBＯ∽△PDHなので、
　　　　　　　　PＯ：PH=PB：PD
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4\ :\ PH=2\sqrt5\ :\ \frac{6\sqrt5}{5}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ PH=\frac{12}{5}\ \ }\end{align*}}$ ．

　　標準的な問題ばかりですね。　　

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2018/11/26(月) 01:19:00|

大学入試(数学)　.関西の私立大学　.関西大　理系　2011（2/5）

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2011関西大　理系数学（2月5日）　４（４）（５）

第4問

　　次の　　　をうめよ。

　(4) $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^n\ a_k=(n-1)^2\ \ \ (n=1,2,3,\ldots)\end{align*}}$ で定められる数列{a_n}がある。
　　　 a₁=　⑨　であり、ｎ≧2であるとき、a_n=　⑩　である。
　　　また、$\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^8\ a_k^2=\end{align*}}$ 　⑪　である。

　(5) 座標平面上において、放物線y=(x－2)²と直線y=ｍxが
　　　異なる2つの共有点P、Qをもつとき、定数ｍのとりうる値の
　　　範囲は　⑫　である。さらに、ｍがこの範囲を動くとき、
　　　線分PQの中点の軌跡は方程式　⑬　で表される曲線の
　　　一部であり、それはx座標が　⑭　の範囲の部分である。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　⑨ 0　　　　⑩ 2ｎ－3　　　　⑪455　　　　⑫ ｍ＜－8、0＜ｍ　　　
　⑬ y=2x²－4x　　　　⑭ x＜－2、2＜x

【解説】

　(4)
　　　与式にｎ=1を代入すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^1\ a_k=(1-1)^2\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ a_1=0\ \ }\end{align*}}$ ．
　　　ｎ≧2のｎに対しては、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=\sum_{k=1}^n\ a_k-\sum_{k=1}^{n-1}\ a_k\end{align*}}$
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(n-1)^2-(n-2)^2\end{align*}}$
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 2n-3\ \ }\end{align*}}$ ．
　　　これらより、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^8\ a_k=a_1+\sum_{k=2}^8\ a_k\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =0+\sum_{k=2}^8\ (2k-3)^2\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^8\ (2k-3)^2-\sum_{k=1}^1\ (2k-3)^2\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left\{\sum_{k=1}^8\ (4k^2-12k+9)\right\}-(-1)^2\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(4\cdot\frac{1}{6}\cdot 8\cdot 9\cdot 17-12\cdot\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 9+9\cdot 8\right)-1\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 455\ \ }\end{align*}}$ ．

　(5)
　　　2式を連立させると、
　　　　　　　　(x－2)²=ｍx
　　　　　　⇔　x²－(ｍ+4)x+4=0　････(ア)
　　　となり、これが異なる2つの実数解をもてばよいので、
　　　判別式を考えると、
　　　　　　　　D=(ｍ+4)²－16＞0　
　　　　　　⇔　ｍ＜－8、 0＜ｍ　････(イ)

　　　(ア)の2解をp、qとすると、2つの共有点P、Qは、
　　　　　　　　P(p，ｍp)、Q(q，ｍq)
　　　と表せ、PQの中点をＭ(X，Y)とおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X=\frac{p+q}{2}\ \ ,\ \ Y=\frac{m(p+q)}{2}\end{align*}}$
　　　ここで、解と係数の関係より、
　　　　　　　p+q=ｍ+4、　pq=－16
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X=\frac{m+4}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ m=2X-4\end{align*}}$ ････(ウ)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y=\frac{m(m+4)}{2}\end{align*}}$ ．
　　　これらよりｍを消去すると、　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y=\frac{2X(2X-4)}{2}=2X^2-4X\end{align*}}$ ．
　　　また、(イ)と(ウ)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2X-4<-8\ ,\ 0<2X-4\ \ \Leftrightarrow\ \ X<-2\ ,\ 2\lt X\end{align*}}$
　　　となるので、
　　　Ｍは放物線y=2x²－4xのx＜－2、2＜xの部分を動く。

　　これまた基本問題ですので確実に！　　

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テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

2018/11/26(月) 01:20:00|

大学入試(数学)　.関西の私立大学　.関西大　理系　2011（2/5）

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