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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2011関西大 理系数学(2月5日) 1



第1問

  xの関数
       $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{x}{x^2+1}\end{align*}}$
  がある。

 (1) f(x)の増減を調べて、関数y=f(x)のグラフの概形を解答欄の
    座標平面上にかけ。ただし、曲線の凹凸は求めなくてよい。

 (2) aをa≧0を満たす実数として、座標平面上でa≦x≦a+1かつ
    0≦y≦f(x)で表される領域をD(a)とする。
   (ⅰ) D(a)の面積をS(a)とする。S(a)を求めよ。また、S(a)が
      最大になるときのaの値を求めよ。
   (ⅱ) D(0)をx軸の周りに回転してできる立体の体積を求めよ。




テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/11/26(月) 01:16:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西大 理系 2011(2/5)
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2011関西大 理系数学(2月5日) 2



第2問

  O(0,0,0)を原点とする座標空間内のある平面上に、
  正六角形ABCDEFがあり、点A(3,1,t)、点B(4,2,3)、
  点C(3,4,2)である。この正六角形をTとし、Tの外接円の
  中心をM、三角形BCMの重心をGとする。次の    をうめよ。

 (1) t= ①  であり、線分ACの中点の座標は ②  、点Mの
    座標は ③  、点Gの座標は ④  である。

 (2) Tの面積は ⑤  である。

 (3) p、qを定数とする。点H(p,q,6)と点Gを通る直線がTに
    垂直であるとき、p= ⑥  、q= ⑦  である。このとき、
    六角錐H-ABCDEFの体積は ⑧  である。



2011関西大 理系数学(2月5日) 3



第3問

  O(0,0)を原点とする座標平面上の2点(1,0)、(0,1)が、
 行列Mの表す1次変換によってそれぞれ $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(-1\ ,\ -\frac{3}{2}\right)\ \ ,\ \ \left(\frac{1}{2}\ ,\ \frac{1}{2}\right)\end{align*}}$
 に移されるとする。また、nを自然数とする。次の    をうめよ。

 (1) M= ①  であり、M2= ②  、M3= ③  である。

 (2) 点(1,0)が、行列M3n、M3n+1、M3n+2の表す1次変換に
    よってそれぞれ点Pn、Qn、Rnに移されるとする。このとき、
    点Pnの座標は ④  、点Qnの座標は ⑤  、点Rn
    座標は ⑥  である。

 (3) (2)で求めた3点Pn、Qn、Rnを頂点とする三角形の面積を
    Snとする。Snはnを用いて ⑦  と表され、$\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^{\infty}\ S_n=\end{align*}}$  ⑧ 
    である。


2011関西大 理系数学(2月5日) 4(1)~(3)



第4問

  次の    をうめよ。

 (1) 関数f(x)=sinx-$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ cosx+1(0≦x≦$\small\sf{\pi}$ )がある。
    方程式f(x)=0の解は ①  である。また、f(x)の最大値と
    最小値の差は ②  である。

 (2) 3桁の自然数全体の集合をUとし、Uから要素を1つ選ぶ。
    選んだ要素が3の倍数である確率は ③  である。また、
    選んだ要素の百の位の数をa、十の位の数をb、一の位の
    数をcとする。このとき、a>b>cである確率は ④  である。
    また、a、b、cがすべて異なる確率は ⑤  である。

 (3) 半径が2の円Cがあり、その中心をOとする。点Oから4だけ
    離れた点Pから2本の接線を引く。2つの接点をA、A’とする
    とき、線分APの長さは ⑥  であり、2本の接線と円Cの
    短い方の弧AA’とで囲まれる部分の面積は ⑦  である。
    また、円C上に∠POB=90°となる点Bをとり、線分BPと
    円Cとの交点のうちBと異なる点から線分OPに垂線を下ろす。
    この垂線と線分OPとの交点をHとするとき、PH= ⑧ 
    ある。


2011関西大 理系数学(2月5日) 4(4)(5)



第4問

  次の    をうめよ。

 (4) $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^n\ a_k=(n-1)^2\ \ \ (n=1,2,3,\ldots)\end{align*}}$ で定められる数列{an}がある。
    a1= ⑨  であり、n≧2であるとき、an= ⑩  である。
    また、$\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^8\ a_k^2=\end{align*}}$  ⑪  である。

 (5) 座標平面上において、放物線y=(x-2)2と直線y=mxが
    異なる2つの共有点P、Qをもつとき、定数mのとりうる値の
    範囲は ⑫  である。さらに、mがこの範囲を動くとき、
    線分PQの中点の軌跡は方程式 ⑬  で表される曲線の
    一部であり、それはx座標が ⑭  の範囲の部分である。