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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2011関西大 理系数学(2月2日) 1



第1問

  aを正の定数とする。座標平面上に曲線C1:y=ax2
  曲線C2:x=y2がある。次の問いに答えよ。

 (1) 曲線C1とC2の交点のうち、原点と異なる点の座標を求めよ。

 (2) 曲線C1とC2で囲まれた図形をDとする。Dをx軸のまわりに
    1回転してできる回転体の体積をV1とする。また、Dをy軸の
    まわりに1回転してできる回転体の体積をV2とする。V1とV2
    をそれぞれaを用いて表せ。

 (3) (2)で求めたV1とV2について、V1≧V2となるようなaの値の
    範囲を求めよ。また、V1-V2を最大にするaの値を求めよ。



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2011関西大 理系数学(2月2日) 2



第2問

  a、bを実数の定数とし、3つの行列
       $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf 3&\sf -2 \\ \sf a & \sf 1 \end{pmatrix}\ \ ,\ \ R=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf 5&\sf -4 \\ \sf 6 & \sf -5 \end{pmatrix}\ \ ,\ \ Q=\begin{pmatrix} \sf \frac{1}{2}&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf b \end{pmatrix}\end{align*}}$
  はAR=QAを満たしている、次の    をうめよ。

   AR=QAを満たすaの値は2つある。そのうちAが逆行列を
  もたないのは、a= ①  のときであり、このときb= ② 
  である。Aが逆行列A-1をもつものは、a= ③  のときであり、
  このとき、A-1= ④  、b= ⑤  である。

   nを2以上の自然数として、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf S_n=A+AR+AR^2+\ldots +AR^{n-1}\end{align*}}$
  とおく。AR=QAであるから、Snは実数xn、ynを用いて、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf S_n=\begin{pmatrix}\sf x_n &\sf 0\\ \sf 0 &\sf y_n\end{pmatrix}\ A\end{align*}}$
  と表される。
   a= ③  のときは、xn= ⑥  、yn= ⑦  である。
  したがって、Eを単位行列として、
       $\small\sf{\begin{align*} \sf E+R+R^2+\ldots +R^{n-1}=\begin{pmatrix}\sf p_n &\sf q_n\\ \sf r_n &\sf s_n\end{pmatrix}\end{align*}}$
  とおくと、
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ p_n=\end{align*}}$  ⑧ 
  である。


2011関西大 理系数学(2月2日) 3



第3問

  数列{an}(n=1,2,3,・・・)は、漸化式
      (n+3)an+1-(2n+4)an+(n+1)an-1=0 (n≧2)
  を満たしている。次の問いに答えよ。 

 (1) bn=an+1-anとおく。bnをbn-1(n≧2)で表せ。

 (2) bnをnとb1を用いて表せ。

 (3) a1=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ 、a2=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ であるとき、anを求めよ。

 (4) (3)で求めたanに対して、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ (a_n)^n\end{align*}}$ を求めよ。


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2011関西大 理系数学(2月2日) 4(1)~(3)



第4問

  次の    をうめよ。

 (1) 実数x、y、zが
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{x+y}{5}=\frac{y+2z}{4}=\frac{z+3x}{10}\end{align*}}$
    を満たしている。x3+y3+z3=-36がなりたつのは、
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{x+y}{5}=\frac{y+2z}{4}=\frac{z+3x}{10}\end{align*}}$
    の値が ①  のときである。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf x-y=\frac{\pi}{3}\end{align*}}$ であるとき、
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sin x-\sin y}{\cos x+\cos y}\end{align*}}$
    の値は ②  である。

 (3) 座標平面上における2点A(0,1,1)、B(1,3,0)を通る
    直線Lを考える。L上の点Pにおいて、原点OとPを結ぶ直線が
    直線Lと垂直に交わるとき、点Pのy座標は ③  である。

 (4) 連立方程式
       4(log2x)2+2log2y=1
       x2y=2
    を解くと、x= ④  、y= ⑤  である。

 (5) 2桁の自然数をNとし、Nの1の位と10の位の2つの数の和を
    Tとする。$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{N}{T}\end{align*}}$ の最小値は ⑥  である。


2011関西大 理系数学(2月2日) 4(4)(5)



第4問

  次の    をうめよ。

 (4) 連立方程式
       4(log2x)2+2log2y=1
       x2y=2
    を解くと、x= ④  、y= ⑤  である。

 (5) 2桁の自然数をNとし、Nの1の位と10の位の2つの数の和を
    Tとする。$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{N}{T}\end{align*}}$ の最小値は ⑥  である。