青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関西の私立大学　.関西大　理系　2011（2/2）

2011関西大　理系数学（2月2日）　１

第1問

　　aを正の定数とする。座標平面上に曲線C₁：y=ax²と
　　曲線C₂：x=y²がある。次の問いに答えよ。

　(1) 曲線C₁とC₂の交点のうち、原点と異なる点の座標を求めよ。

　(2) 曲線C₁とC₂で囲まれた図形をDとする。Dをx軸のまわりに
　　　 1回転してできる回転体の体積をV₁とする。また、Dをy軸の
　　　まわりに1回転してできる回転体の体積をV₂とする。V₁とV₂
　　　をそれぞれaを用いて表せ。

　(3) (2)で求めたV₁とV₂について、V₁≧V₂となるようなaの値の
　　　範囲を求めよ。また、V₁－V₂を最大にするaの値を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(1)
　　　C₁とC₂の2式を連立させると、　
　　　　　　x=(ax²)²　⇔　x(a²x³－1)=0 ．
　　　x≠0より、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{1}{\sqrt[3]{\sf a^2}}\end{align*}}$
　　　であり、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=a\left(\frac{1}{\sqrt[3]{\sf a^2}}\right)^2=\frac{1}{\sqrt[3]{\sf a}}\end{align*}}$ ．
　　　よって、共有点の座標は、
　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \left(\frac{1}{\sqrt[3]{\sf a^2}}\ ,\ \frac{1}{\sqrt[3]{\sf a}}\right)\ \ }\end{align*}}$

　(2)
　　　(1)で求めた値を
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p=\frac{1}{\sqrt[3]{\sf a^2}}\ \ ,\ \ q=\frac{1}{\sqrt[3]{\sf a}}\end{align*}}$　････①
　　　とおく。
　　　また、C₁：y=ｆ(x)、C₂：x=ｇ(y)とそれぞれおくと、　　　　　
　　　Dは右図のようになるので、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_1=\pi\int_0^p \left\{ g\ ^{-1} (x) \right\}^2\ dx-\pi\int_0^p\left\{ f\ (x) \right\}^2\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\int_0^p x\ dx-\pi\int_0^p(ax^2)^2\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\left[\frac{1}{2}x^2-\frac{a^2}{5}x^5\right]_0^p\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\left(\frac{p^2}{2}-\frac{a^2\ p^5}{5}\right)\end{align*}}$

　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_2=\pi\int_0^q \left\{ f\ ^{-1} (y) \right\}^2\ dy-\pi\int_0^q\left\{ g\ (y) \right\}^2\ dy\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\int_0^q \frac{y}{a}\ dy-\pi\int_0^q\ (y^2)^2\ dy\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\left[\frac{1}{2a}y^2-\frac{1}{5}y^5\right]_0^q\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\left(\frac{q^2}{2a}-\frac{q^5}{5}\right)\end{align*}}$
　　　これらに①を代入して整理すると、　　　
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ V_1=\frac{3\pi}{10\ \sqrt[3]{\sf a^4}}\ \ ,\ \ V_2=\frac{3\pi}{10\ \sqrt[3]{\sf a^5}}\ \ }\end{align*}}$

　(3)
　　　(2)で求めたV₁、V₂に対して、
　　　　　　　d(a)=V₁－V₂　（a＞0）
　　　とおくと、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf d\ (a)=\frac{3\pi}{10}\left(a^{-\frac{4}{3}}-a^{-\frac{5}{3}}\right)=\frac{3\pi}{10}\left( a^{-\frac{5}{3}}(a^{\frac{1}{3}}-1 \right)\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_1\geqq V_2\ \ \Leftrightarrow\ \ d\ (a)=\frac{3\pi}{10}\left( a^{-\frac{5}{3}}(a^{\frac{1}{3}}-1 \right)\geqq 0\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \ a^{\frac{1}{3}}\ \geqq 1\ \ (\because a>0\ )\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ a\ \geqq 1\ \ }\end{align*}}$

　　　一方、d(a)をaで微分すると、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf d\ '(a)=\frac{3\pi}{10}\left(-\frac{4}{3}a^{-\frac{7}{3}}+\frac{5}{3}a^{-\frac{8}{3}}\right)=-\frac{\pi}{10}a^{-\frac{8}{3}}\left(4a^{-\frac{1}{3}}-5\right)\end{align*}}$
　　　となるので、a＞0より、d(a)=0となるのは、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^{-\frac{1}{3}}=\frac{5}{4}\end{align*}}$　すなわち、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\frac{125}{64}\end{align*}}$　
　　　のときである。よって、増減表は、次のようになる。
　　　　　　　　　

　　　以上より、V₁－V₂が最大になるaの値は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a=\frac{125}{64}\ \ }\end{align*}}$ ．

　　面倒なので途中計算は省略しています。スミマセンm(_ _)m　　

解答を閉じる↑

Tweet

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

2018/11/26(月) 01:11:00|

大学入試(数学)　.関西の私立大学　.関西大　理系　2011（2/2）

| トラックバック:0

| コメント:0

2011関西大　理系数学（2月2日）　２

第2問

　　a、bを実数の定数とし、3つの行列
　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf 3&\sf -2 \\ \sf a & \sf 1 \end{pmatrix}\ \ ,\ \ R=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf 5&\sf -4 \\ \sf 6 & \sf -5 \end{pmatrix}\ \ ,\ \ Q=\begin{pmatrix} \sf \frac{1}{2}&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf b \end{pmatrix}\end{align*}}$
　　はAR=QAを満たしている、次の　　　をうめよ。

　　　AR=QAを満たすaの値は2つある。そのうちAが逆行列を
　　もたないのは、a=　①　のときであり、このときb=　②　
　　である。Aが逆行列A^-1をもつものは、a=　③　のときであり、
　　このとき、A^-1=　④　、b=　⑤　である。

　　　ｎを2以上の自然数として、
　　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf S_n=A+AR+AR^2+\ldots +AR^{n-1}\end{align*}}$
　　とおく。AR=QAであるから、S_nは実数x_n、y_nを用いて、
　　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf S_n=\begin{pmatrix}\sf x_n &\sf 0\\ \sf 0 &\sf y_n\end{pmatrix}\ A\end{align*}}$
　　と表される。
　　　a=　③　のときは、x_n=　⑥　、y_n=　⑦　である。
　　したがって、Eを単位行列として、
　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf E+R+R^2+\ldots +R^{n-1}=\begin{pmatrix}\sf p_n &\sf q_n\\ \sf r_n &\sf s_n\end{pmatrix}\end{align*}}$
　　とおくと、
　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ p_n=\end{align*}}$ 　⑧　
　　である。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　① $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{3}{2}\end{align*}}$　　　　② $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$　　　　　③ －1　　　　⑤ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf 1 &\sf 2\\ \sf 1 &\sf 3\end{pmatrix}\end{align*}}$　　　　⑤ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{2}\end{align*}}$

　⑥ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\left\{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n\right\}\end{align*}}$　　　　⑦ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\left\{1-\left(-\frac{1}{2}\right)^n\right\}\end{align*}}$　　　　⑧ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{14}{3}\end{align*}}$

【解説】

　　AR=QAより　
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf 3&\sf -2 \\ \sf a & \sf 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 5&\sf -4 \\ \sf 6 & \sf -5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf \frac{1}{2}&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf b \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 3&\sf -2 \\ \sf a & \sf 1 \end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf 3&\sf -2 \\ \sf 5a+6 & \sf -4a-5 \end{pmatrix}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf 3&\sf -2 \\ \sf 2ab & \sf 2b \end{pmatrix}\end{align*}}$
　　成分を比較すると、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2ab=5a+6\end{align*}}$　････(ア)
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b=-\frac{4a+5}{2}\end{align*}}$　････(イ)
　　となり、(イ)を(ア)に代入すると、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -a(4a+5)=5a+6\ \ \Leftrightarrow\ \ 2a^2+5a+3=0\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a=-1\ ,\ -\frac{3}{2}\end{align*}}$　････(ウ)

　　一方、Aのデターミナントは、
　　　　　　　　　　　detA=3+2a
　　となるので、逆行列A^-1が存在しないとき、(イ)、(ウ)より
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a=-\frac{3}{2}\ \ ,\ \ b=\frac{1}{2}\ \ }\end{align*}}$ ．

　　逆に、a=－1 のとき、detA=3－2=1≠0なので、
　　A^-1が存在し、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A^{-1}=\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf 2\\ \sf -a &\sf 3\end{pmatrix}=\underline{\ \begin{pmatrix}\sf 1 &\sf 2\\ \sf 1 &\sf 3\end{pmatrix}}\end{align*}}$ ．
　　また、このとき(イ)より、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ b=-\frac{1}{2}\ \ }\end{align*}}$ ．

　　以下は、a=－1のときについて考える。

　　AR=QAの両辺に右からA^-1をかけると、
　　　　　　　ARA^-1=Q
　　となり、この両辺をｎ乗（ｎ=1，2，3，･･･）すると、
　　　　　　　(ARA^-1)ⁿ=Qⁿ ････(エ)
　　この左辺は、
　　　　　(ARA^-1)ⁿ=ARA^-1ARA^-1･･･ARA^-1
　　　　　　　　　　　 =ARERE･･･ERA^-1
　　　　　　　　　　　 =ARⁿA^-1
　　となるので、(エ)は
　　　　　ARⁿA^-1=Qⁿ　⇔　ARⁿ=QⁿA
　　と変形できる。
　　よって、
　　　　　S_n=A+AR+AR²+････+AR^n-1
　　　　　　　=A+QA+Q²A+････+Q^n-1A
　　　　　　　=(E+Q+Q²+･･･+Q^n-1)A　････(オ)
　　ここで、Qは対角行列なので、　　
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q^n=\begin{pmatrix} \sf \frac{1}{2}&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf -\frac{1}{2} \end{pmatrix}^n=\left(\frac{1}{2}\right)^n\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf (-1)^n \end{pmatrix}\end{align*}}$ ．
　　よって、
　　E+Q+Q²+･･･+Q^n-1の(1，1)成分は、題意より
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_n=1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2+\ldots +\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n}{1-\frac{1}{2}}=\underline{\ 2\left\{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n\right\}\ \ }\end{align*}}$ ．
　　同様に、(2，2)成分は、
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y_n=1-\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^2+\ldots +\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\frac{1-\left(-\frac{1}{2}\right)^n}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)}=\underline{\ \frac{2}{3}\left\{1-\left(-\frac{1}{2}\right)^n\right\}\ \ }\end{align*}}$ ．

　　一方、
　　　　　S_n=A+AR+AR²+････+AR^n-1
　　　　　　　=A(E+R+R²+････+R^n-1)
　　と変形できるので、(オ)より、
　　　　　A(E+R+R²+････+R^n-1)=(E+Q+Q²+･･･+Q^n-1)A
　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ A\ \begin{pmatrix}\sf p_n &\sf q_n\\ \sf r_n\ \ &s_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf x_n &\sf 0\\ \sf 0 &\sf y_n\end{pmatrix}\ A\end{align*}}$
　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \begin{pmatrix}\sf p_n &\sf q_n\\ \sf r_n &\sf s_n\end{pmatrix}=A^{-1}\begin{pmatrix}\sf x_n &\sf 0\\ \sf 0 &\sf y_n\end{pmatrix}\ A\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\begin{pmatrix}\sf 1&\sf 2\\ \sf 1\ \ &3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf x_n &\sf 0\\ \sf 0&\sf y_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf 3&\sf -2\\ \sf -1 &\sf 1\end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\begin{pmatrix}\sf 3x_n-2y_n &\sf -2x_n+2y_n\\ \sf 3x_n-3y_n &\sf -2x_n+3y_n\end{pmatrix}\end{align*}}$ ．
　　よって、
　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ p_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\ (3x_n-2y_n)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =6\lim_{n\rightarrow\infty}\left\{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n\right\}-\frac{4}{3}\lim_{n\rightarrow\infty}\left\{1-\left(-\frac{1}{2}\right)^n\right\} \end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =4-\frac{4}{3}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{14}{3}\ \ }\end{align*}}$

　　ARⁿ=QⁿAが導き出せるかが1つの鍵ですが、
　　穴埋めなので、なんとなく類推できるんじゃないでしょうか。　　

解答を閉じる↑

Tweet

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

2018/11/26(月) 01:12:00|

大学入試(数学)　.関西の私立大学　.関西大　理系　2011（2/2）

| トラックバック:0

| コメント:0

2011関西大　理系数学（2月2日）　３

第3問

　　数列{a_n}（ｎ=1，2，3，･･･）は、漸化式
　　　　　　(ｎ+3)a_n+1－(2ｎ+4)a_n+(ｎ+1)a_n-1=0　（ｎ≧2）
　　を満たしている。次の問いに答えよ。　

　(1) b_n=a_n+1－a_nとおく。b_nをb_n-1（ｎ≧2）で表せ。

　(2) b_nをｎとb₁を用いて表せ。

　(3) a₁=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ 、a₂=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ であるとき、a_nを求めよ。

　(4) (3)で求めたa_nに対して、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ (a_n)^n\end{align*}}$ を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(1)
　　　与式は、
　　　　　　　　(ｎ+3)a_n+1－{(ｎ+3)+(ｎ+1)}a_n+(ｎ+1)a_n-1=0
　　　　　　⇔　(ｎ+3)(a_n+1－a_n)=(ｎ+1)(a_n－a_n-1)
　　　　　　⇔　(ｎ+3)b_n=(ｎ+1)b_n-1
　　　と変形でき、ｎ≧2なので、
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ b_n=\frac{n+1}{n+3}\ b_{n-1}\ \ }\end{align*}}$

　(2)
　　　(1)より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n=\frac{n+1}{n+3}\ b_{n-1}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_{n-1}=\frac{n}{n+2}\ b_{n-2}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_{n-2}=\frac{n-1}{n+1}\ b_{n-3}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_3=\frac{4}{6}\ b_{n2}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_2=\frac{3}{5}\ b_{1}\end{align*}}$
　　　これらを辺々かけると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n=\frac{n+1}{n+3}\cdot\frac{n}{n+2}\cdot\frac{n-1}{n+1}\cdot\ldots\cdot\frac{5}{7}\cdot\frac{4}{6}\cdot\frac{3}{5}\ b_{1}\end{align*}}$
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{12}{(n+2)(n+3)}\ b_{1}\ \ }\end{align*}}$

　(3)
　　　(2)より、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n=\frac{12}{(n+2)(n+3)}\ (a_2-a_1)=\frac{2}{(k+2)(k+3)}\end{align*}}$ ．
　　　{b_n}は{a_n}の1次階差数列なので、ｎ≧2のｎに対して、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}\ b_k\end{align*}}$
　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{2}{(k+2)(k+3)}\end{align*}}$
　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}+2\sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac{1}{k+2}-\frac{1}{k+3}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}+2\left\{\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{6}\right)+\ldots+\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)\right\}\end{align*}}$
　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}+2\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{n+2}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1-\frac{2}{n+2}\end{align*}}$
　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{n}{n+2}\ \ }\end{align*}}$　　（これはｎ=1のときもOK）

　(4)
　　　求める極限をＬとすると、(3)より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=\lim_{n\rightarrow\infty}\ \left(\frac{2}{n+2}\right)^n\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\ \left(\frac{n+2}{n}\right)^{-n}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\ \left(1+\frac{2}{n}\right)^{-n}\end{align*}}$
　　　ここで、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf N=\frac{n}{2}\end{align*}}$
　　　とおくと、ｎ→+∞のとき、Ｎ→+∞となるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=\lim_{N\rightarrow\infty}\ \left(1+\frac{1}{N}\right)^{-2N}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{N\rightarrow\infty}\ \left\{\left(1+\frac{1}{N}\right)^{N}\right\}^{-2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ e^{-2}\ \ }\end{align*}}$

　　(1)の1行目の変形に気づくでしょうか？
　　これにさえ気づけば、(3)までは大丈夫でしょう。
　　(4)は、ネイピア数の定義
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} {\color{Blue} \sf e=\lim_{n\rightarrow\infty}\ \left(1+\frac{1}{n}\right)^n}\end{align*}}$
　　に持ちこむんですが、この定義、ちゃんと覚えてますか？？　　

解答を閉じる↑

Tweet

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

2018/11/26(月) 01:13:00|

大学入試(数学)　.関西の私立大学　.関西大　理系　2011（2/2）

| トラックバック:0

| コメント:0

2011関西大　理系数学（2月2日）　４（１）～（３）

第4問

　　次の　　　をうめよ。

　(1) 実数x、y、zが
　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{x+y}{5}=\frac{y+2z}{4}=\frac{z+3x}{10}\end{align*}}$
　　　を満たしている。x³+y³+z³=－36がなりたつのは、
　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{x+y}{5}=\frac{y+2z}{4}=\frac{z+3x}{10}\end{align*}}$
　　　の値が　①　のときである。

　(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf x-y=\frac{\pi}{3}\end{align*}}$ であるとき、
　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sin x-\sin y}{\cos x+\cos y}\end{align*}}$
　　　の値は　②　である。

　(3) 座標平面上における2点A(0，1，1)、B(1，3，0)を通る
　　　直線Ｌを考える。Ｌ上の点Pにおいて、原点ＯとPを結ぶ直線が
　　　直線Ｌと垂直に交わるとき、点Pのy座標は　③　である。

　(4) 連立方程式
　　　　　　　4(log₂x)²+2log₂y=1
　　　　　　　x²y=2
　　　を解くと、x=　④　、y=　⑤　である。

　(5) 2桁の自然数をＮとし、Ｎの1の位と10の位の2つの数の和を
　　　 Tとする。$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{N}{T}\end{align*}}$ の最小値は　⑥　である。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　① －1　　　　② $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\sqrt 3}\end{align*}}$　　　　③ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\end{align*}}$

【解説】

　(1)
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{x+y}{5}=\frac{y+2z}{4}=\frac{z+3x}{10}=k\end{align*}}$
　　　とおくと、
　　　　　　　x+y=5ｋ
　　　　　　　y+2z=4ｋ
　　　　　　　z+3x=10ｋ．
　　　これらを連立させて解くと、
　　　　　　　x=3ｋ、　y=2ｋ、　z=ｋ
　　　となり、
　　　　　　　x³+y³+z³=－36
　　　に代入すると、
　　　　　　　(3ｋ)³+(2ｋ)³+ｋ³=36ｋ³=－36
　　　　　⇔　ｋ³=－1．
　　　ｋは実数なので、ｋ=－1

　(2)
　　　和→積の公式より、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin x-\sin y=2\cos\frac{x+y}{2}\ \sin\frac{x-y}{2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos x+\cos y=2\cos\frac{x+y}{2}\ \cos\frac{x-y}{2}\end{align*}}$
　　　となるので、求める値をAとおくと、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\frac{2\cos\frac{x+y}{2}\ \sin\frac{x-y}{2}}{2\cos\frac{x+y}{2}\ \cos\frac{x-y}{2}}=\tan\frac{x+y}{2}\end{align*}}$ ．
　　　これに、x－y=$\scriptsize\sf{\pi}$ /3を代入すると、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\tan\frac{\pi}{6}=\underline{\ \frac{1}{\sqrt3}\ \ }\end{align*}}$

　(3)
　　　3点A、B、Pは一直線上にあるので、実数ｔを用いて
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AP}=t\ \overrightarrow{\sf AB}\ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf OP}=\overrightarrow{\sf OA}+t\ \overrightarrow{\sf AB}\end{align*}}$
　　　と表せる。
　　　ここで、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}=(0\ ,\ 1\ ,\ 1)\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}=(1-0\ ,\ 3-1\ ,\ 0-1)=(1\ ,\ 2\ ,\ -1)\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=(0\ ,\ 1\ ,\ 1)+t(1\ ,\ 2\ ,\ -1)=(t\ ,\ 2t+1\ ,\ -t+1)\end{align*}}$ ．
　　　ＯP⊥ABなので、内積を考えると、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf AB}=t+2(2t+1)-(-t+1)=0\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t=-\frac{1}{6}\end{align*}}$ ．
　　　よって、点Pのy座標は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2t+1=\underline{\ \frac{2}{3}\ \ }\end{align*}}$

　　基本的な問題ばかりです。間違えないように！　　

解答を閉じる↑

Tweet

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

2018/11/26(月) 01:14:00|

大学入試(数学)　.関西の私立大学　.関西大　理系　2011（2/2）

| トラックバック:0

| コメント:0

2011関西大　理系数学（2月2日）　４（４）（５）

第4問

　　次の　　　をうめよ。

　(4) 連立方程式
　　　　　　　4(log₂x)²+2log₂y=1
　　　　　　　x²y=2
　　　を解くと、x=　④　、y=　⑤　である。

　(5) 2桁の自然数をＮとし、Ｎの1の位と10の位の2つの数の和を
　　　 Tとする。$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{N}{T}\end{align*}}$ の最小値は　⑥　である。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　④ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$　　　　⑤ 1　　　　⑥ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{19}{10}\end{align*}}$

【解説】

　(4)
　　　x、y≠0なので、　
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2y=2\ \ \Leftrightarrow\ \ y=\frac{2}{x^2}\end{align*}}$ ････(ア)
　　　(ア)を1つ目の式に代入すると、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4(\log_2 x)^2+2\log_2\frac{2}{x^2}=1\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4(\log_2 x)^2+2(\log_2 2-2\log_2 x)=1\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4(\log_2 x)^2-4\log_2 x+1=(2\log_2 x-1)^2=0\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \log_2 x=\frac{1}{2}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=2^{\frac{1}{2}}=\underline{\ \sqrt2\ \ }\end{align*}}$
　　　これを(ア)に代入すると、
　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{2}{\left(\sqrt2\right)^2}=\underline{\ 1\ \ }\end{align*}}$

　(5)
　　　1の位の数をa、10の位の数をbとおくと、
　　　　　　　　Ｎ=a+10b、　T=a+b
　　　より、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{N}{T}=\frac{a+10b}{a+b}=1+\frac{9b}{a+b}=1+\frac{9}{\frac{a}{b}+1}\end{align*}}$ ．
　　　a、bは、0≦a≦9、　1≦b≦9 を満たす整数なので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq \frac{a}{b}\leqq 9\end{align*}}$ ．
　　　よって、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{N}{T}_{\ min}=1+\frac{9}{9+1}=\underline{\ \frac{19}{10}\ \ }\end{align*}}$
　　　　　　　　　　

　　これもさほど難しくないと思います。　　

解答を閉じる↑

Tweet

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

2018/11/26(月) 01:15:00|

大学入試(数学)　.関西の私立大学　.関西大　理系　2011（2/2）

| トラックバック:0

| コメント:0

プロフィール

Author:シケタキオア
　
橿原市の個別指導塾
青木ゼミの塾長ブログです。
毎日、大学入試数学を解いて
いきますので、どうぞよろしく
お願いします。

カレンダー

09 | 2023/10 | 11
日月火水木金土

1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20 21
22 23 24 25 26 27 28
29 30 31 - - - -

最新記事

2019大阪大　理系数学3 (06/10)
2019大阪大　理系数学2 (06/09)
2019大阪大　理系数学1 (06/08)
2019東京工業大　数学5 (06/07)
2019東京工業大　数学3 (06/05)
2019東京工業大　数学2 (06/04)
2019東京工業大　数学1 (06/03)
2019大阪大　文系数学3 (06/02)
2019大阪大　文系数学2 (06/01)
2019大阪大　文系数学1 (05/31)
2019大阪教育大　数学4 (05/30)
2019大阪教育大　数学3 (05/29)
2019大阪教育大　数学2 (05/28)
2019大阪教育大　数学1 (05/27)
2019大阪府立大　理系数学4 (05/26)
2019大阪府立大　理系数学3 (05/25)
2019大阪府立大　理系数学2 (05/24)
2019大阪府立大　理系数学1 (05/23)
2019大阪府立大　文系数学4 (05/22)
2019大阪府立大　文系数学3 (05/21)

カテゴリー

△ × カテゴリー内の記事

Now Loading...

Now Loading...

Script by Lc-Factory
(詳細:Lc-Factory/雑記)

カウンター

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

奈良県橿原市木原町165-2
tel 0744-25-6173
url http://www.aozemi.com/
mail aozemi@maia.eonet.ne.jp

Powered By FC2ブログ. Copyright ©青木ゼミ青木 All Rights Reserved

09 | 2023/10 | 11
日	月	火	水	木	金	土
1	2	3	4	5	6	7
8	9	10	11	12	13	14
15	16	17	18	19	20	21
22	23	24	25	26	27	28
29	30	31	-	-	-	-

青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2011関西大 理系数学（2月2日） １

2011関西大 理系数学（2月2日） ２

2011関西大 理系数学（2月2日） ３

2011関西大 理系数学（2月2日） ４（１）～（３）

2011関西大 理系数学（2月2日） ４（４）（５）

プロフィール

カレンダー

最新記事

カテゴリー

カウンター

橿原市の個別指導塾　青木ゼミの塾長ブログ

2011関西大　理系数学（2月2日）　１

2011関西大　理系数学（2月2日）　２

2011関西大　理系数学（2月2日）　３

2011関西大　理系数学（2月2日）　４（１）～（３）

2011関西大　理系数学（2月2日）　４（４）（５）