第4問
次の をうめよ。
(4) 不等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{2x-x^2}>x-1\end{align*}}$
の解は ⑦ である。
(5) 関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf f (x)=x+\sqrt{2x-x^2}\end{align*}}$
が最大値をとるxの値は ⑧ である。
(6) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{\theta\rightarrow 0}\frac{1-\cos\theta}{\theta^2}=\end{align*}}$ ⑨ であるので、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{\theta\rightarrow 0}\left(\frac{1-\cos^3\theta}{\theta^3}\ \tan\theta\right)=\end{align*}}$ ⑩
である。
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【解答】
⑦ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq x<\frac{2+\sqrt2}{2}\end{align*}}$ ⑧ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2+\sqrt2}{2}\end{align*}}$ ⑨ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ ⑩ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{2}\end{align*}}$
【解説】
(4)
まず、根号の中は0以上なので、
2x－x2=x（2－x）≧0 ⇔ 0≦x≦2
左辺≧0なので、右辺が負のときは常に成り立つ。
すなわち、x－1＜0 ⇔ 0≦x＜1のときは成り立つ。
一方、
x≧1のとき、両辺≧0となるので、両辺を2乗すると、
2x－x2＞x2－2x+1
⇔ 2x2－4x+1＜0
⇔ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1\leqq x <\frac{2+\sqrt2}{2}\end{align*}}$
以上より、求めるxの範囲は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ 0\leqq x<\frac{2+\sqrt2}{2}\ \ }\end{align*}}$
(5)
導関数を求めると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=1+\frac{2-2x}{2\sqrt{2x-x^2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\sqrt{2x-x^2}+1-x}{\sqrt{2x-x^2}}\end{align*}}$ ．
ここで(4)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq x<\frac{2+\sqrt2}{2}\end{align*}}$ のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{2x-x^2}>x-1\ \ \Leftrightarrow\ \ f\ '(x)>0\end{align*}}$
であり、同様に考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{2+\sqrt2}{2}\end{align*}}$ のとき、ｆ’(x)=0
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x>\frac{2+\sqrt2}{2}\end{align*}}$ のとき、ｆ’(x)＜0
よって、ｆ(x)が最大となるときのxの値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ x=\frac{2+\sqrt2}{2}\ \ }\end{align*}}$
(6)
⑨の極限をＬ1とする。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_1=\lim_{\theta\rightarrow 0}\frac{1-\cos\theta}{\theta^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{\theta\rightarrow 0}\frac{1-\cos^2\theta}{\theta^2(1+\cos\theta)}\end{align*}}$ ←分子･分母×(1+cos$\scriptsize\sf{\theta}$ )
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{\theta\rightarrow 0}\frac{\sin^2\theta}{\theta^2(1+\cos\theta)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{\theta\rightarrow 0}\left(\frac{\sin\theta}{\theta}\right)^2\cdot\lim_{\theta\rightarrow 0}\frac{1}{1+\cos\theta}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1^2\cdot\frac{1}{1+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{2}\ \ }\end{align*}}$
一方、⑩の極限をＬ2とする。
1－cos3$\scriptsize\sf{\theta}$ =(1－cos$\scriptsize\sf{\theta}$ )(1+cos$\scriptsize\sf{\theta}$ +cos2$\scriptsize\sf{\theta}$ )
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_2=\lim_{\theta\rightarrow 0}\left\{\frac{(1-\cos\theta)(1+\cos\theta+\cos^2\theta)}{\theta^3}\ \tan\theta\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{\theta\rightarrow 0}\frac{1-\cos\theta}{\theta^2}\times\lim_{\theta\rightarrow 0}\frac{(1+\cos\theta+\cos^2\theta)\ \tan\theta}{\theta}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =L_1\times\lim_{\theta\rightarrow 0}\frac{\sin\theta}{\theta}\cdot\frac{1+\cos\theta+\cos^2\theta}{\cos\theta}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\times1\times\frac{1+1+1}{1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{3}{2}\ \ }\end{align*}}$
(4)は、条件が多いのでうまく整理してください。
いきなり両辺を2乗したらダメですよ！！！
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/26(月) 01:10:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西大 理系 2012（2/5）
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