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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2012関西大 理系数学(2月5日) 1



第1問

  Oを原点とする座標平面上において、楕円
         $\small\sf{\begin{align*} \sf C:\ \frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{5}=1\end{align*}}$
  と直線m:y=-x+kが共有点をもっている。ただし、kは定数とする。

 (1) kのとりうる値の範囲を求めよ。

 (2) Cの1つの焦点(0,$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ )とmとの距離と、もう1つの焦点(0,$\small\sf{\begin{align*} \sf -\sqrt2\end{align*}}$ )
    とmとの距離の和をLとするとき、Lをkの式で表し、そのグラフを解答
    欄の座標平面上にかけ。

 (3) kが最大値をとるとき、x≧0かつy≧0の部分でCとmとx軸で囲まれ
    る図形をDとする。Dをx軸のまわりに1回転してできる立体の体積を
    求めよ。


  【注意】問題文中の文字を一部変えてあります。

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/11/26(月) 01:06:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西大 理系 2012(2/5)
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2012関西大 理系数学(2月5日) 2



第2問

  2つの数列{an}、{bn}が
        $\small\sf{\begin{align*} \sf a_1=0\ \ ,\ \ b_1=1\end{align*}}$
        $\small\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}=\frac{1}{2}\ a_n+\frac{1}{2}\ b_n\ \ ,\ \ b_{n+1}=\frac{1}{4}\ a_n+\frac{3}{4}\ b_n\end{align*}}$
  によって定められている。このとき、次の    をうめよ。

 (1) a3= ①  、b3= ②  である。

 (2) bn+1-an+1= ③  (bn-an) が成り立つから、bn-an
    nを用いて、bn-an= ④  と表される。

 (3) 数列{an}の一般項anは、nを用いてan= ⑤  と表される。

 (4) nを用いて表すと、
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^n\ 4^{k-1}\ a_k=\end{align*}}$  ⑥ 
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^n\ k\ (b_k-a_k)=\end{align*}}$  ⑦ 
    である。



2012関西大 理系数学(2月5日) 3



第3問

  Oを原点とする座標平面上において、行列
           $\small\sf{\begin{align*} \sf M=\begin{pmatrix}\sf -1 &\sf -t \\ \sf t &\sf t-2\end{pmatrix}\end{align*}}$
  で表される1次変換をfとする(ただし、tは実数とする)。
  fによって、点(1,0)が移される点をA、点(1,1)が移される
  点をB、点(0,1)が移される点をCとする。
  このとき、次の    をうめよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\bot\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ であるようなtの値は2つあり、その値は ①  ② 
    である。ただし、 ①  ②  とする。

 (2) △ABCの面積は、t= ③  のとき、最小値  ④  をとる。

 (3) M2+M+Eが零行列であるとする。ただし、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf E=\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf 0 \\ \sf 0 &\sf 1 \end{pmatrix}\end{align*}}$
    である。
  (ⅰ) t= ⑤  であり、M3= ⑥  、M2012= ⑦  である。

  (ⅱ) M2012で表される1次変換をgとする。座標平面上の点Pが
     gの逆変換によって移される点をQ、点Cを原点のまわりに
     -60°だけ回転して移される点をRとする。$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}=\overrightarrow{\sf OR}\end{align*}}$ である
     とき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ を成分で表すと、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ = ⑧  である。


2012関西大 理系数学(2月5日) 4(1)~(3)



第4問

  次の    をうめよ。

 (1) $\small\sf{\pi}$ /2<$\small\sf{\theta}$ <$\small\sf{\pi}$ とする。tan$\small\sf{\theta}$ =-2であるとき、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \cos\left(\frac{3}{2}\pi-\theta\right)=\end{align*}}$  ① 
         sin2$\small\sf{\theta}$ +cos4$\small\sf{\theta}$ = ② 
    である。

 (2) 3個のさいころA、B、Cを同時に投げるとき、3個のさいころの
    目の和が6となる確率は  ③  であり、3個の目の積が4の
    倍数となる確率は ④  である。

 (3) aを正の定数とし、f(x)=x2-ax+8とする。
    2次方程式f(x)=0が異なる2つの実数解をもち、その2つの
    差が2以下となるようなaの値の範囲は ⑤  である。
    また、0≦x≦2における関数f(x)の最小値をm(a)とするとき、
    m(a)=2であるようなaの値は ⑥  である。



2012関西大 理系数学(2月5日) 4(4)~(6)



第4問

  次の    をうめよ。

 (4) 不等式
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{2x-x^2}>x-1\end{align*}}$
    の解は ⑦  である。

 (5) 関数
       $\small\sf{\begin{align*} \sf f (x)=x+\sqrt{2x-x^2}\end{align*}}$
    が最大値をとるxの値は ⑧  である。

 (6) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{\theta\rightarrow 0}\frac{1-\cos\theta}{\theta^2}=\end{align*}}$  ⑨  であるので、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{\theta\rightarrow 0}\left(\frac{1-\cos^3\theta}{\theta^3}\ \tan\theta\right)=\end{align*}}$  ⑩ 
    である。