青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関西の私立大学　.関西大　理系　2012（2/1）

2012関西大　理系数学（2月1日）　１

第1問

　　xの関数
　　　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf f (x)=\frac{\log x}{x^2}\end{align*}}$
　　に対して、次の問いに答えよ。

　(1) ｆ(x)の導関数ｆ’(x)を求め、ｆ(x)の極値を求めよ。

　(2) ｆ(x)の第2次導関数ｆ”(x)を求め、さらにｆ”(x)=0を満たす
　　　 xの値を求めよ。

　(3) x＞0において、
　　　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf 2\sqrt x-\log x>0\end{align*}}$
　　　を示せ。

　(4) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\infty}\ \frac{\log x}{x^2}\end{align*}}$ を求めよ。

　(5) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\infty}\ \int_1^af (x)\ dx=\int_1^c\ (x)\ dx\end{align*}}$ を満たす正の定数cを求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(1)
　　　ｆ(x)の第1次導関数は、　
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\log x\cdot 2x}{x^4}=\frac{1-2\log x}{x^3}\end{align*}}$
　　　なので、ｆ'(x)=0となるのは、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log x=\frac{1}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\sqrt e\end{align*}}$
　　　のときである。x＞0で増減表を書くと下の通り。

　　　　　　　
　　　よって、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\sqrt e\end{align*}}$　で極大 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{1}{2e}\ \ }\end{align*}}$

　(2)
　　　ｆ(x)の第2次導関数は、　
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ ''(x)=\frac{-\frac{2}{x}\cdot x^3-(1-2\log x)\cdot 3x^2}{x^6}=\frac{-5+6\log x}{x^4}\end{align*}}$
　　　なので、ｆ”(x)=0となるのは、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log x=\frac{5}{6}\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ x=e^{\frac{5}{6}}\ \ }\end{align*}}$

　(3)
　　　xについての関数ｇ(x)を
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (x)=2\sqrt x-\log x\ \ \ (x>0)\end{align*}}$
　　　と定義すると、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ '(x)=2\cdot x^{-\frac{1}{2}}-\frac{1}{x}=\frac{\sqrt x-1}{x}\end{align*}}$
　　　となり、x＞0の範囲で増減表を書くと下の通り。

　　　　　　　　
　　
　　　これより、x＞0でつねにｇ(x)＞0となるので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\sqrt x-\log x>0\end{align*}}$

　(4)
　　　(3)より、x＞0に対して、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log x<2\sqrt x\end{align*}}$
　　　であり、両辺をx²（＞0）で割ると、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\log x}{x^2}<\frac{2\sqrt x}{x^2}=\frac{2}{x\sqrt x}\end{align*}}$ ．
　　　x→∞を考えるので、logx＞0としてよく、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\frac{\log x}{x^2}<\frac{2}{x\sqrt x}\end{align*}}$ ．
　　　ここで、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\infty}\ \frac{2}{x\sqrt x}=0\end{align*}}$
　　　なので、はさみうちの原理より、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \lim_{x\rightarrow\infty}\ \frac{\log x}{x^2}=0\ \ }\end{align*}}$

　(5)
　　　部分積分法を用いてを計算すると、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_1^a\ f\ (x)\ dx=\int_1^a\ \frac{\log}{x^2}\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[-\frac{\log x}{x}\right]_1^a+\int_1^a\ \frac{dx}{x^2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{\log a}{a}+\left[-\frac{1}{x}\right]_1^a\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{\log a}{a}-\frac{1}{a}+1\end{align*}}$ ････①
　　　ここで、(4)と同様に考えると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\lim_{a\rightarrow\infty}\ \frac{\log a}{a}<\lim_{a\rightarrow\infty}\ \frac{2\sqrt a}{a}=\lim_{a\rightarrow\infty}\ \frac{2}{\sqrt a}\end{align*}}$
　　　であり、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow\infty}\ \frac{2}{\sqrt a}=0\end{align*}}$
　　　なので、はさみうちの原理を用いて、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow\infty}\ \frac{\log a}{a}=0\end{align*}}$　
　　　これと①より、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow\infty}\ \int_1^a\ f\ (x)\ dx=1\end{align*}}$ ．

　　　一方、①より
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_1^c\ f\ (x)\ dx=-\frac{\log c}{c}-\frac{1}{c}+1\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1=-\frac{\log c}{c}-\frac{1}{c}+1\ \ \Leftrightarrow\ \ \log c=-1\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ c=\frac{1}{e}\ \ }\end{align*}}$

　　(3)の結果を(4)でうまく使えるかが勝負です。
　　まぁ、この証明は一度ぐらいはやったことあると思いますが。　　

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2012関西大　理系数学（2月1日）　２

第2問

　　aを実数の定数とし、曲線x²+4y²－2x－3=0をC₁とし、
　　円(x－a)²+y²=4をC₂とする。次の　　　をうめよ。

　(1) 曲線C₁は楕円　①　 =1 をx軸方向に　②　だけ平行移動
　　　した楕円を表す。

　(2) 曲線C₁と円₂が共有点をもつようなaの値の範囲は　③　である。

　(3) a=0のとき、C₁とC₂の共有点は2点あり、そのうちy座標が正で
　　　ある点をPとする。点Pの座標の値は　④　である。
　　　また、点PにおけるC₁の接線がx軸と交わる点のx座標の値は
　　　　⑤　であり、点PにおけるC₂の接線がx軸と交わる点のx座
　　　標の値は　⑥　である。

　　　(注意) 一部　　　の形を変えています。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　① $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{x^2}{4}+y^2\end{align*}}$　　　　　　　　② 1　　　　　　　　③ －3≦a≦5
　　④ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{-1+2\sqrt{10}}{3}\end{align*}}$　　　　　　⑤ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3+\sqrt{10}\end{align*}}$　　　　　⑥ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{8\sqrt{10}+4}{13}\end{align*}}$　　　　　

【解説】

　(1)
　　　曲線C₁は、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2+4y^2-2x-3=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{(x-1)^2}{4}+y^2=1\end{align*}}$
　　　と変形できるので、C₁は楕円
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{x^2}{4}+y^2=1\end{align*}}$
　　　をx軸方向に+1だけ平行移動したものである。

　(2)
　　　(1)より、C₁は、下の図のようになる。
　　　また、C₂は、中心(a，0)、半径2の円を表すので、
　　　これらが共有点をもつための条件は、
　　　　　　　　　　－3≦a≦5
　　　である。
　　　　　　　

　(3)
　　　a=0のとき、C₂は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2+y^2=4\end{align*}}$
　　　であり、これをC₁の式に代入すると、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2+4(4-x^2)-2x-3=0\ \ \Leftrightarrow\ \ y^2=4-x^2\end{align*}}$　････(ア)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 3x^2+2x-13=0\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{-1\pm2\sqrt{10}}{3}\end{align*}}$
　　　ここで、(ア)より、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y^2=4-x^2\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ -2\leqq x\leqq 2\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{-1+2\sqrt{10}}{3}\end{align*}}$ ．
　　　この値をsとおき、点Pのy座標をｔとおく。

　　　曲線C₁の点P(s，ｔ)における接線の方程式は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{(s-1)(x-1)}{4}+ty=4\end{align*}}$
　　　であり、これとx軸との交点は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{(s-1)(x-1)}{4}=4\ \ \Leftrightarrow\ \ x=1+\frac{4}{s-1}\end{align*}}$ ．
　　　これに
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=\frac{-1+2\sqrt{10}}{3}\end{align*}}$　････(イ)
　　　を代入して整理すると、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ x=3+\sqrt{10}\ \ }\end{align*}}$

　　　一方、曲線C₂の点P(s，ｔ)における接線の方程式は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf sx+ty=4\end{align*}}$
　　　であり、これとx軸との交点は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf sx=4\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{4}{s}\end{align*}}$ ．
　　　これに(イ)を代入して整理すると、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ x=\frac{8\sqrt{10}+4}{13}\ \ }\end{align*}}$

　　(2)は、計算だけでやろうとすると面倒です。
　　図で考えましょう！　　

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2012関西大　理系数学（2月1日）　３

第3問

　　$\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf a &\sf -b \\ \sf b &\sf a \end{pmatrix}\end{align*}}$ （b≠0）が表す1次変換をｆとする。点P(c，0) （c＞0）
　　を考える。次の問いに答えよ。

　(1) 次の　①　～　④　を数値でうめよ。
　　　点Q(3，4)を、点R(1，2)を中心として反時計まわりに$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{3}\end{align*}}$ だけ
　　　回転した点の座標は、
　　　　　　　　
　　　を計算することにより、( 　③　，　④　 ) である。

　(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf B=\begin{pmatrix} \sf \cos\frac{\pi}{3}&\sf -\sin\frac{\pi}{3} \\ \sf \sin\frac{\pi}{3} & \sf \cos\frac{\pi}{3} \end{pmatrix}\ \ ,\ \ V=\binom{c}{0}-A\binom{c}{0}\ \ ,\ \ O=\binom{0}{0}\end{align*}}$ とおく。
　　　点Pを、点ｆ(P)を中心として反時計まわりに$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{3}\end{align*}}$ だけ回転した点が
　　　 (ｆ￮ｆ)(P)と一致するという条件をA、B、V、Ｏを用いて表すと、
　　　　　　　　　　( 　⑤　 )V=Ｏ
　　　と表すことができる。AとBを用いて　⑤　をうめよ。

　(3) 3点P、ｆ(P)、(ｆ￮ｆ)(P)が正三角形の3つの頂点をなすとき、a、b
　　　の値を求めよ。

　(4) (3)の正三角形1辺の長さが1になるとき、cの値を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(1)(2)
　　　　① 1　　　　② 2　　　　③ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2-\sqrt3\end{align*}}$　　　　　④ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3+\sqrt3\end{align*}}$　　　　⑤ A+B
　(3)、(4)は以下を参照

【解説】

　(1)
　　　求める点をS(X，Y)とする。
　　　点Rをx軸方向に－1、y軸方向に－2だけ平行移動すると、
　　　原点Ｏと一致し、同じ平行移動によって点Q、Sが移る点を
　　　それぞれQ’、S’とすると、
　　　　　　　Q’(3－1，4－2)=(2，2)
　　　　　　　S’(X－1，Y－2)
　　　となる。
　　　S’はQ’を原点中心に$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{3}\end{align*}}$ だけ回転させた点

　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{X-1}{Y-2}=\begin{pmatrix} \sf \cos\frac{\pi}{3}&\sf -\sin\frac{\pi}{3} \\ \sf \sin\frac{\pi}{3} & \sf \cos\frac{\pi}{3} \end{pmatrix}\binom{3-1}{4-2}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \binom{X}{Y}=\begin{pmatrix} \sf \cos\frac{\pi}{3}&\sf -\sin\frac{\pi}{3} \\ \sf \sin\frac{\pi}{3} & \sf \cos\frac{\pi}{3} \end{pmatrix}\binom{3-1}{4-2}+\binom{1}{2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf -\sqrt3 \\ \sf \sqrt3 & \sf 1 \end{pmatrix}\binom{2}{2}+\binom{1}{2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\binom{2-\sqrt3}{3+\sqrt3}\end{align*}}$

　(2)
　　　点ｆ(P)および(ｆ￮ｆ)(P)はそれぞれ、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A\binom{c}{0}\ \ ,\ \ A^2\binom{c}{0}\end{align*}}$
　　　と表せるので、(1)と同様に考えると、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B\left(\binom{c}{0}-A\binom{c}{0}\right)+A\binom{c}{0}=A^2\binom{c}{0}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ B\left(\binom{c}{0}-A\binom{c}{0}\right)=-A\left(\binom{c}{0}-A\binom{c}{0}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ BV=-AV\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (A+B)V=O\end{align*}}$

　(3)
　　　ｆ(P)、(ｆ￮ｆ)(P)の表す点をそれぞれP₁、P₂とおく。
　　　3点P、P₁、P₂が正三角形の頂点となるためには、
　　　　(a) PをP₁中心に$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{3}\end{align*}}$ 回転させた点がP₂と一致する
　　　　(b) PをP₁中心に$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{\pi}{3}\end{align*}}$ 回転させた点がP₂と一致する
　　　の2つの場合が考えられる。

　　　(a)のときは、(2)の条件を満たせばよいので、
　　　　　　　　　　(A+B)V=Ｏ　････(ア)
　　　まず、PとP₁は異なる点なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\binom{c}{0}-A\binom{c}{0}\ne\binom{0}{0}\end{align*}}$　････(イ)
　　　ここで、A+Bの逆行列が存在するならば、
　　　(ア)の両辺に(A+B)^-1をかけると
　　　　　　　　V=Ｏ
　　　となってしまい(イ)に反する。
　　　よって、A+Bは逆行列を持たない。
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A+B=\begin{pmatrix} \sf \cos\frac{\pi}{3}+a&\sf -\sin\frac{\pi}{3}-b \\ \sf \sin\frac{\pi}{3}+b & \sf \cos\frac{\pi}{3}+a \end{pmatrix}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf 1+2a&\sf -\sqrt3-2b \\ \sf \sqrt3+2b & \sf 1+2a\end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　より、デターミナントを考えると、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}(1+2a)^2+\frac{1}{2}(\sqrt3+2b)^2=0\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a=-\frac{1}{2}\ \ ,\ \ b=-\frac{\sqrt3}{2}\end{align*}}$
　　　このとき、A+B=Ｏなので、(ア)を満たす。

　　　一方、(b)のとき、原点中心の$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{\pi}{3}\end{align*}}$ 回転を表す行列は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)&\sf -\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) \\ \sf \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) & \sf \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)\end{pmatrix}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf \sqrt3 \\ \sf -\sqrt3 & \sf 1 \end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　となり、Bの逆行列B^-1と一致する。
　　　(a)のときと同じように考えると、
　　　　　　　　　　(A+B^-1)V=Ｏ　････(ウ)
　　　であればよく、A+B^-1は逆行列を持たない。
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A+B^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf 1+2a&\sf \sqrt3-2b \\ \sf -\sqrt3+2b & \sf 1+2a \end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　より、デターミナントを考えると、
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}(1+2a)^2+\frac{1}{2}(-\sqrt3+2b)^2=0\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a=-\frac{1}{2}\ \ ,\ \ b=\frac{\sqrt3}{2}\end{align*}}$
　　　このときも、A+B=Ｏなので、(ウ)を満たす。

　　　以上より、求めるa、bは、
　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a=-\frac{1}{2}\ \ ,\ \ b=\pm\frac{\sqrt3}{2}\ \ }\end{align*}}$

　(4)
　　　(3)の(a)の場合
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf -\sqrt3 \\ \sf \sqrt3 & \sf 1 \end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_1\cdot\cdot\cdot\ -\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf -\sqrt3 \\ \sf \sqrt3 & \sf 1 \end{pmatrix}\binom{c}{0}=-\frac{1}{2}\binom{c}{\sqrt3 c}\end{align*}}$　．
　　　よって、PP₁=1なので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\ P_1^2=\left(-\frac{1}{2}c-c\right)^2+\left(-\frac{\sqrt3}{2}c-0\right)^2=1\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 3c^2=1\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ c=\frac{1}{\sqrt3}\ \ (\ >0)\end{align*}}$

　　　(3)の(b)の場合
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf \sqrt3 \\ \sf -\sqrt3 & \sf 1 \end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　なので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_1\cdot\cdot\cdot\ -\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf \sqrt3 \\ \sf -\sqrt3 & \sf 1 \end{pmatrix}\binom{c}{0}=-\frac{1}{2}\binom{c}{-\sqrt3 c}\end{align*}}$　．
　　　よって、PP₁=1なので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\ P_1^2=\left(-\frac{1}{2}c-c\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}c-0\right)^2=1\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ c=\frac{1}{\sqrt3}\ \ (\ >0)\end{align*}}$

　　　以上より、求めるcの値は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ c=\frac{1}{\sqrt3}\ \ }\end{align*}}$

　　(3)が難しいでしょうね。(2)の式をそのまま成分計算すると、
　　行き詰まってしまいます・・・・　　

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2018/11/26(月) 01:03:00|

大学入試(数学)　.関西の私立大学　.関西大　理系　2012（2/1）

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2012関西大　理系数学（2月1日）　４（１）～(３)

第4問

　　次の　　　をうめよ。

　(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow -\infty}\left(\sqrt{x^2+3x}+x\right)\end{align*}}$ の値は　①　である。

　(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^2\ k\ _nC_k\end{align*}}$ を計算すると　②　となる。

　(3) 座標空間の原点をＯとし、ｔを実数とする。どのようなｔの値に
　　　対しても、点
　　　　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf P\left(\cos t\ ,\ \frac{-1+\sin t}{\sqrt2}\ ,\ \frac{1+\sin t}{\sqrt2}\right)\end{align*}}$
　　　は原点を中心とする半径　③　の球面上にある。
　　　また、実数sに対して、点Q(0，s，－s)とするとき、
　　　　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}\cdot\overrightarrow{\sf QP}=0\end{align*}}$
　　　　となるようなsの値はs=0とs=　④　である。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　①　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{3}{2}\end{align*}}$　　　　②　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf n\cdot 2^{n-1}\end{align*}}$　　　　③　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$　　　　④　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{\sqrt2}{2}\end{align*}}$

【解説】

　(1)
　　　x=－ｔとおくと、x→－∞のときｔ→+∞になるので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow -\infty}\left(\sqrt{x^2+3x}+x\right)=\lim_{t\rightarrow+\infty}\left(\sqrt{t^2-3t}-t\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{t\rightarrow+\infty}\frac{\left(\sqrt{t^2-3t}-t\right)\left(\sqrt{t^2-3t}+t\right)}{\sqrt{t^2-3t}+t}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{t\rightarrow+\infty}\frac{-3t}{\sqrt{t^2-3t}+t}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{t\rightarrow+\infty}\frac{-3}{\sqrt{1-\frac{3}{t}}+1}\end{align*}}$　　←分子・分母÷ｔ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{-3}{\sqrt{1+0}+1}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ -\frac{3}{2}\ \ }\end{align*}}$

　(2)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_n=\sum_{k=1}^n\ k\ _nC_k\end{align*}}$
　　　とおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_n=1\cdot_nC_1+2\cdot_nC_2+\ldots +(n-1)\cdot_nC_{n-1}+n\cdot_nC_n\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ S_n=0\cdot _nC_0+1\cdot_nC_1+2\cdot_nC_2+\ldots +(n-1)\cdot_nC_{n-1}+n\cdot_nC_n\end{align*}}$　････①
　　　であり、任意のｋに対して、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf _nC_k=_nC_{n-k}\end{align*}}$
　　　が成り立つので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=0\cdot _nC_n+1\cdot_nC_{n-1}+2\cdot_nC_{n-2}+\ldots +(n-1)\cdot_nC_1+n\cdot_nC_0\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =n\cdot _nC_0+(n-1)\cdot_nC_1+(n-2)\cdot_nC_2+\ldots +1\cdot_nC_{n-1}+0\cdot_nC_n\end{align*}}$　････②
　　　①、②を辺々加えると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2S_n=n\cdot _nC_0+n\cdot_nC_1+n\cdot_nC_2+\ldots +n\cdot_nC_{n-1}+n\cdot_nC_n\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =n\left(_nC_0+_nC_1+_nC_2+\ldots +_nC_{n-1}+_nC_n\right)\end{align*}}$　････③

　　　ここで、二項定理より、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (1+x)^n=_nC_0+_nC_1x+_nC_2x^2+\ldots +_nC_{n-1}x^{n-1}+_nC_nx^n\end{align*}}$
　　　であり、これにx=1を代入すると、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2^n=_nC_0+_nC_1+_nC_2+\ldots +_nC_{n-1}+_nC_n\end{align*}}$　････④
　　　③に④を代入すると、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2S_n=n\cdot2^n\ \ \Leftrightarrow\ \underline{\ S_n=n\cdot 2^{n-1}\ \ }\end{align*}}$

　(3)
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OP^2=(\cos t)^2+\left(\frac{-1+\sin t}{\sqrt2}\right)^2+\left(\frac{1+\sin t}{\sqrt2}\right)^2\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\cos^2 t+\frac{1-2\sin t+\sin^2t}{2}+\frac{1+2\sin t+\sin^2t}{2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\cos^2t+1+\sin^2t\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\end{align*}}$
　　　なので、Pは原点Ｏを中心とする半径 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \sqrt2\ \ }\end{align*}}$ の球面上にある。
　　　また、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}=\left(0\ ,\ s\ ,\ -s\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf QP}=\left(\cos t\ ,\ \frac{-1+\sin t}{\sqrt2}-s\ ,\ \frac{1+\sin t}{\sqrt2}+s\right)\end{align*}}$
　　　より、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}\cdot \overrightarrow{\sf QP}=0+s\left(\frac{-1+\sin t}{\sqrt2}-s\right)-s\left(\frac{1+\sin t}{\sqrt2}+s\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-2s^2-\sqrt2 s\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-2s(s+\sqrt2)=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ s=0\ ,\ -\frac{\sqrt2}{2}\ \ }\end{align*}}$

　　(2)が難しいでしょうかね。
　　次のような解法もあります。　

　　二項定理より
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{Blue}(1+x)^n=_nC_0+_nC_1x+_nC_2x^2+\ldots +_nC_{n-1}x^{n-1}+_nC_nx^n}\end{align*}}$
　　両辺をxで微分すると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{Blue}n(1+x)^{n-1}=_nC_1x+2_nC_2x+3_nC_3x^2\ldots +(n-1)_nC_{n-1}x^{n-2}+n_nC_nx^{n-1}}\end{align*}}$
　　これにx=1を代入すると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{Blue}n\cdot 2^{n-1}=_nC_1x+2_nC_2+3_nC_3\ldots +(n-1)_nC_{n-1}+n_nC_n}\end{align*}}$
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{Blue}\ \ \Leftrightarrow\ \ \sum_{k=1}^n\ k\ _nC_k=n\cdot 2^{n-1}}\end{align*}}$

　　こっちの方がスマートですが、知らなきゃ無理って感じですよね・・・・

　

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2018/11/26(月) 01:04:00|

大学入試(数学)　.関西の私立大学　.関西大　理系　2012（2/1）

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2012関西大　理系数学（2月1日）　４（４）～(６)

第4問

　　次の　　　をうめよ。

　(4) 媒介変数表示
　　　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf x=3^{t+1}+3^{-t+1}+1\ \ ,\ \ y=3^t-3^{-t}\end{align*}}$
　　　で表される図形は、x、yについての方程式　⑤　 =1で定まる
　　　双曲線Cのx＞0の部分である。また、Cの漸近線で傾きが正の
　　　漸近線の方程式はy=　⑥　である。

　(5) $\small\sf{\theta}$ の関数
　　　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf \sin\theta\sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)\sin\left(\theta-\frac{\pi}{3}\right)\end{align*}}$
　　　は、定数a、bを用いて、
　　　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf a\sin^3\theta+b\sin\theta\end{align*}}$
　　　と表すことができる。a、bの組(a，b)は　⑦　である。

　(6) 無限級数の和として定義される関数
　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf f (x)=x^2+\frac{x^2}{1+2x^2}+\frac{x^2}{(1+2x^2)^2}+\ldots +\frac{x^2}{(1+2x^2)^n}+\ldots\end{align*}}$
　　　について、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow 0}\ f (x)\end{align*}}$ の値は　⑧　である。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　⑤　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{x-1}{6}\right)^2-\frac{y^2}{4}\end{align*}}$　　　　⑥　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}(x-1)\end{align*}}$

　　⑦　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(1\ ,\ -\frac{3}{4}\right)\end{align*}}$　　　　　　　⑧　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$

【解説】

　(4)
　　　xについて、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=3^{t+1}+3^{-t+1}+1\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{x-1}{3}=3^t+3^{-t}\end{align*}}$
　　　両辺を2乗すると、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{x-1}{3}\right)^2=9^t+9^{-t}+2\end{align*}}$ ．
　　　一方、yについての式の両辺を2乗すると、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=3^3-3^{-t}\ \ \Rightarrow\ \ y^2=9^t+9^{-t}-2\end{align*}}$
　　　であり、これら2式の差をとると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{x-1}{3}\right)^2-y^2=4\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ \left(\frac{x-1}{6}\right)^2-\frac{y^2}{4}=1\ \ }\end{align*}}$

　　　この双曲線の漸近線は、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{x-1}{6}\pm \frac{y}{2}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ y=\pm\frac{1}{3}(x-1)\end{align*}}$ ．
　　　傾きが正のものは、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ y=\frac{1}{3}(x-1)\ \ }\end{align*}}$

　(5)
　　　積→和の公式より、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)\sin\left(\theta-\frac{\pi}{3}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{2}\left(\cos2\theta-\cos\frac{2\pi}{3}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{2}\left(1-2\sin^2\theta\right)+\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\end{align*}}$　←倍角公式
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sin^2\theta-\frac{3}{4}\end{align*}}$ ．
　　　よって、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin\theta\sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)\sin\left(\theta-\frac{\pi}{3}\right)=\sin^3-\frac{3}{4}\sin\theta\end{align*}}$
　　　より、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ (a\ ,\ b)=\left(1\ ,\ -\frac{3}{4}\right)\ \ }\end{align*}}$

　(6)
　　　数列 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{\frac{x^2}{(1+2x^2)^{n-1}}\right\}\end{align*}}$ は等比数列であり、
　　　その公比は
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\frac{1}{1+2x^2}<1\end{align*}}$
　　　なので、無限等比級数ｆ(x)は、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{x^2}{1-\frac{1}{1+2x^2}}=\frac{x^2(1+2x^2)}{(1+2x^2)-1}=\frac{1+2x^2}{2}\end{align*}}$ ．
　　　よって、
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow 0}\ f\ (x)=\frac{1+0}{2}=\underline{\ \frac{1}{2}\ \ }\end{align*}}$

　　(5)は、和・積の公式を忘れた人でも、加法定理を使えば大丈夫です。　　

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