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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2012関西大 理系数学(2月1日) 1



第1問

  xの関数
          $\small\sf{\begin{align*} \sf f (x)=\frac{\log x}{x^2}\end{align*}}$
  に対して、次の問いに答えよ。

 (1) f(x)の導関数f’(x)を求め、f(x)の極値を求めよ。

 (2) f(x)の第2次導関数f”(x)を求め、さらにf”(x)=0を満たす
    xの値を求めよ。

 (3) x>0において、
          $\small\sf{\begin{align*} \sf 2\sqrt x-\log x>0\end{align*}}$
    を示せ。

 (4) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\infty}\ \frac{\log x}{x^2}\end{align*}}$ を求めよ。

 (5) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\infty}\ \int_1^af (x)\ dx=\int_1^c\ (x)\ dx\end{align*}}$ を満たす正の定数cを求めよ。




テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/11/26(月) 01:01:00|
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2012関西大 理系数学(2月1日) 2


第2問

  aを実数の定数とし、曲線x2+4y2-2x-3=0をC1とし、
  円(x-a)2+y2=4をC2とする。次の    をうめよ。

 (1) 曲線C1は楕円  ①  =1 をx軸方向に  ②  だけ平行移動
    した楕円を表す。

 (2) 曲線C1と円2が共有点をもつようなaの値の範囲は ③  である。

 (3) a=0のとき、C1とC2の共有点は2点あり、そのうちy座標が正で
    ある点をPとする。点Pの座標の値は  ④  である。
    また、点PにおけるC1の接線がx軸と交わる点のx座標の値は
     ⑤  であり、点PにおけるC2の接線がx軸と交わる点のx座
    標の値は  ⑥  である。


   (注意) 一部     の形を変えています。




2012関西大 理系数学(2月1日) 3


第3問

  $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf a &\sf -b \\ \sf b &\sf a \end{pmatrix}\end{align*}}$ (b≠0)が表す1次変換をfとする。点P(c,0) (c>0)
  を考える。次の問いに答えよ。

 (1) 次の ①  ④  を数値でうめよ。
    点Q(3,4)を、点R(1,2)を中心として反時計まわりに$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{3}\end{align*}}$ だけ
    回転した点の座標は、
        図05
    を計算することにより、(  ③  ④  ) である。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf B=\begin{pmatrix} \sf \cos\frac{\pi}{3}&\sf -\sin\frac{\pi}{3} \\ \sf \sin\frac{\pi}{3} & \sf \cos\frac{\pi}{3} \end{pmatrix}\ \ ,\ \ V=\binom{c}{0}-A\binom{c}{0}\ \ ,\ \ O=\binom{0}{0}\end{align*}}$ とおく。
    点Pを、点f(P)を中心として反時計まわりに$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{3}\end{align*}}$ だけ回転した点が
    (f○f)(P)と一致するという条件をA、B、V、Oを用いて表すと、
          (  ⑤  )V=O
    と表すことができる。AとBを用いて  ⑤  をうめよ。

 (3) 3点P、f(P)、(f○f)(P)が正三角形の3つの頂点をなすとき、a、b
    の値を求めよ。

 (4) (3)の正三角形1辺の長さが1になるとき、cの値を求めよ。




2012関西大 理系数学(2月1日) 4(1)~(3)



第4問

  次の    をうめよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow -\infty}\left(\sqrt{x^2+3x}+x\right)\end{align*}}$ の値は ①  である。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^2\ k\ _nC_k\end{align*}}$ を計算すると  ②  となる。

 (3) 座標空間の原点をOとし、tを実数とする。どのようなtの値に
    対しても、点
           $\small\sf{\begin{align*} \sf P\left(\cos t\ ,\ \frac{-1+\sin t}{\sqrt2}\ ,\ \frac{1+\sin t}{\sqrt2}\right)\end{align*}}$
    は原点を中心とする半径  ③  の球面上にある。
    また、実数sに対して、点Q(0,s,-s)とするとき、
           $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}\cdot\overrightarrow{\sf QP}=0\end{align*}}$
    となるようなsの値はs=0とs= ④  である。



2012関西大 理系数学(2月1日) 4(4)~(6)



第4問

  次の    をうめよ。

 (4) 媒介変数表示
          $\small\sf{\begin{align*} \sf x=3^{t+1}+3^{-t+1}+1\ \ ,\ \ y=3^t-3^{-t}\end{align*}}$
    で表される図形は、x、yについての方程式 ⑤  =1で定まる
    双曲線Cのx>0の部分である。また、Cの漸近線で傾きが正の
    漸近線の方程式はy= ⑥  である。

 (5) $\small\sf{\theta}$ の関数
          $\small\sf{\begin{align*} \sf \sin\theta\sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)\sin\left(\theta-\frac{\pi}{3}\right)\end{align*}}$
    は、定数a、bを用いて、
          $\small\sf{\begin{align*} \sf a\sin^3\theta+b\sin\theta\end{align*}}$
    と表すことができる。a、bの組(a,b)は ⑦  である。

 (6) 無限級数の和として定義される関数
       $\small\sf{\begin{align*} \sf f (x)=x^2+\frac{x^2}{1+2x^2}+\frac{x^2}{(1+2x^2)^2}+\ldots +\frac{x^2}{(1+2x^2)^n}+\ldots\end{align*}}$
    について、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow 0}\ f (x)\end{align*}}$ の値は ⑧  である。