青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関西の国立大学　.京都大　文系　2011

2011京都大　文系数学１

智辯学園の応援のため、甲子園に行ってきました。いやぁ暑かったですが、
試合には勝ったので、なんともいい気分です。この調子で、次の試合も頑張ってください。
さて、今日からは京大文系の問題です。

第１問

　　次の各問いに答えよ。

　(１) 辺ＡＢ、辺ＢＣ、辺ＣＡの長さがそれぞれ12、11、10の三角形ＡＢＣを考える。
　　　 ∠Ａの二等分線と辺ＢＣの交点をＤとするとき、線分ＡＤの長さを求めよ。

　(２) 箱の中に、１から９までの番号を１つずつ書いた９枚のカードが入っている。
　　　ただし、異なるカードには異なる番号が書かれているものとする。この箱から
　　　２枚のカードを同時に選び、小さい方の数をＸとする。これらのカードを箱に
　　　戻して、再び２枚のカードを同時に選び、小さい方の数をＹとする。
　　　Ｘ＝Ｙである確率を求めよ。

解答はこちら↓

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2011/08/13(土) 01:21:00|

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2011京都大　文系数学２

お盆休み２日目ですが、何にもすることがなく、普通に塾で仕事をしていました。

第２問

　　

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

　　まぁ本来なら普通にベクトル計算をして求めるんでしょうけど、ぜんぜん面白くないので
　　まったくベクトルを無視して解きました。中３程度の知識で理解できると思います。

　　　　ＢＣの中点をＭとすると、△ＯＢＣは直角二等辺三角形なので、ＢＣ⊥ＯＭ
　　　　これとＢＣ⊥ＯＡ(仮定)なので、ＢＣ⊥平面ＯＡＭ
　　　　これより、平面ＯＡＭ⊥平面ＡＢＣがいえ、点Ｏから平面ＡＢＣに下ろした
　　　　垂線の足Ｈは直線ＡＭ上にある。

　　　　△ＯＢＣは直角二等辺三角形なので、
　　　　　　　 $\rm OM=BM=\frac{3\sqrt2}{2}$
　　　　また、△ＡＢＭは直角三角形なので、三平方の定理より、
　　　　　　　 $\rm AM=\sqrt{\left(\sqrt7\right)^2+\left(\frac{3\sqrt2}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{10}}{2}$

　　　　ＡＨ＝ｘとおいて、△ＯＡＨと△ＯＭＨに三平方の定理を用いると、
　　　　　　　 $\rm OH^2=2^2-\left(\frac{\sqrt{10}}{2}\right)^2=\left(\frac{3\sqrt2}{2}\right)^2-\left(\frac{\sqrt{10}}{2}-x\right)^2$
　　　　これを解くと、
　　　　　　　 $\rm x=\frac{\sqrt{10}}{5}$
　　　　となるので、
　　　　　　　 $\rm OH=\frac{3\sqrt{10}}{5}$

　
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2011/08/14(日) 01:30:00|

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2011京都大　文系数学３

あべのキューズモールに行ってきました。
まぁそんなこと、どうでもいいですね。京大の続きです。

第３問

　　実数ａが変化するとき、３次関数ｙ＝ｘ³－４ｘ²＋６ｘと直線ｙ＝ｘ＋ａのグラフ
　　の交点の個数はどのように変化するか。ａの値によって分類せよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

　　これまた教科書レベルの問題ですので、絶対に間違えてはいけませんね。

　　　　
　　　　ｙ＝ｘ³－４ｘ²＋６ｘ････① とｙ＝ｘ＋ａ････② の交点
　　　　　　　　ｘ³－４ｘ²＋６ｘ＝ｘ＋ａ
　　　　　　⇔ ｘ³－４ｘ²＋５ｘ＝ａ
　　　　ここで、ｆ(ｘ)＝ｘ³－４ｘ²＋６ｘとおくと、
　　　　①と②の交点の個数は、曲線ｙ＝ｆ(ｘ)と直線ｙ＝ａの交点の個数と等しくなる。
　　　　　　ｆ'(ｘ)＝３ｘ²－８ｘ²＋５
　　　　　　　　　＝(３ｘ－５)(ｘ－１)
　　　　ｆ(ｘ)の増減表は下の通り。
　　　　　　　　　　

　　　　よって、
　　　　　 $\rm \frac{50}{27}<a<2$ 　のとき３個
　　　　　 $\rm a=\frac{50}{27}$ 　のとき２個
　　　　　 $\rm a<\frac{50}{27}\ ,\ 2<a$ 　のとき１個

　
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2011/08/15(月) 01:30:00|

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2011京都大　文系数学４

智辯学園、すごい逆転でしたね。

第４問

　　ｘｙ平面上で、連立不等式
　　　　　　
　　を満たす領域の面積を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

　　これまた、間違えたら即浪人という問題ですね。

　　　　|ｘ|≦２よりｘ²≦４となるので、
　　　　　　 $\rm y=|\frac{3}{4}x^2-3 |-2$
　　　　　　　 $\rm =\frac{3}{4}|x^2-4 |-2$
　　　　　　　 $\rm =-\frac{3}{4}x^2+1$

　　　　この放物線と直線ｙ＝ｘとの交点を求める。
　　　　　　　 $\rm -\frac{3}{4}x^2+1=x$
　　　　これを解くと、
　　　　　　　 $\rm x=\frac{2}{3}\ ,\ -2$

　　　　よって、与えられた不等式が表す領域は、右図の水色部分となる。
　　　　その面積Ｓは、

　　　　　　　 $\rm S=\int_{-2}^{\frac{2}{3}}\left(-\frac{4}{3}x^2+1-x\right)dx$
　　　　　　　　 $\rm =-\frac{4}{3}\int_{-2}^{\frac{2}{3}}\left(x+2\right)\left(x-\frac{2}{3}\right)dx$
　　　　　　　　 $\rm =-\frac{4}{3}\times\left(-\frac{1}{6}\right)\times\left(\frac{2}{3}+2\right)^3$
　　　　　　　　 $\rm =\frac{64}{27}$

　
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2011/08/16(火) 01:30:00|

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2011京都大　文系数学５

夏期講座も後半が始まりました。暑い日が続きますが、頑張りましょう！

第５問

　　０以上の整数を10進法で表すとき、次の問いに答えよ。ただし、
　　０は０桁の数と考えることにする。またｎは正の整数とする。

　(１) 各桁の数が１または２であるｎ桁の整数を考える。それらすべての
　　　整数の総和をＴ_nとする。Ｔ_nをｎを用いて表せ。

　(２) 各桁の数が０、１、２のいずれかであるｎ桁以下の整数を考える。
　　　それらすべての整数の総和をＳ_nとする。Ｓ_nがＴ_nの15倍以上に
　　　なるのは、ｎがいくつ以上のときか。必要があれば、
　　　　　0.301＜log₁₀２＜0.302、0.477＜log₁₀３＜0.478
　　　を用いてもよい。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－

　　今年の京大文系の中でこの問題だけは少し難しい感じですね。
　　この問題の出来で合否が決まったのではないでしょうか。

　　(１)
　　　　各桁の数が１または２であるｎ桁の整数は全部で２ⁿ個ある。
　　　　そのうちで、
　　　　・１の位の数が１であるものと２であるものが、
　　　　　それぞれ２^n-1個ずつあるので、１の位の数の総和は、
　　　　　　　１×２^n-1＋２×２^n-1＝３×２^n-1

　　　　・10の位の数が１であるものと２であるものが、
　　　　　それぞれ２^n-1個ずつあるので、10の位の数の総和は、
　　　　　　　10×２^n-1＋20×２^n-1＝30×２^n-1

　　　　・100の位の数が１であるものと２であるものが、
　　　　　それぞれ２^n-1個ずつあるので、100の位の数の総和は、
　　　　　　　100×２^n-1＋200×２^n-1＝300×２^n-1
　　　　　　 $\vdots$

　　　　・10^n-1の位の数が１であるものと２であるものが、
　　　　　それぞれ２^n-1個ずつあるので、10^n-1の位の数の総和は、
　　　　　　　3×10^n-1×２^n-1

　　　これらは、初項３×２^n-1、公比10、項数ｎの等比数列を
　　　なしているので、その和Ｔ_nは、
　　　　　　 $\rm T_n=\frac{3\times2^{n-1}\times(10^n-1)}{10-1}$
　　　　　　　 $\rm =\frac{2^{n-1}(10^n-1)}{3}$

　　(２)
　　　　ｍ桁の数(ｍ＜ｎ)は、上位の桁に０をｎ－ｍ個並べることによって
　　　　ｎ桁の数と見なすことにする。たとえば、３桁の数123は、前に0を
　　　　ｎ－３個並べて0000･･･000132とすると、便宜上ｎ桁の数と
　　　　考えることができる。

　　　　各桁の数が０、１、２のいずれかであるｎ桁以下の整数は
　　　　全部で３ⁿ個ある。
　　　　(１)と同様に考えると、
　　　　10^kの位の数が(ｋ＝０、１，２，・・・、ｎ－１)、
　　　　　　０のものが３^k-1個
　　　　　　１のものが３^k-1個
　　　　　　２のものが３^k-1個あるので、
　　　　10^kの位の数の総和は、
　　　　　　０×３^k-1＋１×３^k-1＋２×３^k-1＝３×３^k-1

　　　　よって、３ⁿ個すべての総和Ｓ_nは、
　　　　　　 $\rm S_n=\frac{3\times3^{n-1}\times(10^n-1)}{10-1}$
　　　　　　　 $\rm =\frac{3^{n-1}(10^n-1)}{3}$

　　　　Ｓ_n≧15Ｔ_nなので、
　　　　　　　 $\rm \frac{3^{n-1}(10^n-1)}{3}\geq15\times\frac{2^{n-1}(10^n-1)}{3}$
　　　　　 $\rm \Longleftrightarrow\ \left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}\geq15$
　　　　　 $\rm \Longleftrightarrow\ \left(\frac{3}{2}\right)^{n-2}\geq10$

　　　　両辺＞０なので、常用対数をとると、
　　　　　　　 $\rm (n-2)\log_{10}\left(\frac{3}{2}\right)\geq 1$
　　　　　 $\rm \Longleftrightarrow\ n \geq \frac{1}{\log_{10}3-\log_{10}2}+2\ \ldots\ldots(*)$

　　　　ここで、
　　　　0.301＜log₁₀２＜0.302と0.477＜log₁₀３＜0.478より、
　　　　　　　　　0.175＜log₁₀３－log₁₀２＜0.177
　　　　　 $\rm \Longleftrightarrow\ 7.64\ldots< \frac{1}{\log_{10}3-\log_{10}2}+2<7.71\ldots$

　　　　これと(*)より、題意を満たす自然数ｎは８以上である。

　　(１)ができれば、(２)でＳ_nを求めるところまでは大丈夫でしょう。
　　最後の対数計算が難しいかもしれませんね。

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2011/08/17(水) 01:33:00|

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