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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2010同志社大 理系(理工) 数学1(1)



第1問

 (1) 曲線C:y=cosx上の点(a,cosa)
                 (a≠0,±$\small\sf{\pi}$ ,±2$\small\sf{\pi}$ ,・・・)
    における法線の方程式は
            y= ア 
    であり、法線とx軸の交点Pの座標は
            ( イ  ,0)
    である。したがって、交点Pと(a,0)の距離は、
            f(a)= ウ 
    と表せる。
    もし、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{8}\leqq a\leqq\frac{\pi}{3}\end{align*}}$ であれば、距離f(a)は、
    a= エ  のとき最大値 オ  をとり、
    a= カ  のとき最小値 キ  をとる。




2010同志社大 理系(理工) 数学1(2)



第1問

 (2) 曲線
       $\small\sf{\begin{align*} \sf C:\ y=x+\frac{1}{\sqrt x}\ \ \ (1\leqq x\leqq 4)\end{align*}}$
    と直線x=1、x=4およびx軸で囲まれた部分の面積は ク 
    であり、それをx軸のまわりに回転させてできる回転体とy軸の
    まわりに回転させてできる回転体の体積はそれぞれ ケ 
     コ  である。




2010同志社大 理系(理工) 数学2



第2問

  関数
       $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=x\ e^{-|x|}\end{align*}}$
  について次の問いに答えよ。

 (1) f(x)の極値を求めよ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow\infty}\ t\ e^{-t}=0\end{align*}}$ を利用して、y=f(x)のグラフの概形を描け。

 (3) 直線y=mxと曲線y=f(x)が原点以外に共有点を持つための
    条件を、mを用いて表せ。

 (4) 直線y=mxと曲線y=f(x)が原点以外に共有点を持つとする。
    このとき、直線y=mxと曲線y=f(x)で囲まれた部分の面積を
    求めよ。
   




テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2012/08/23(木) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の私立大学 .同志社大 理系 2010(理工)
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2010同志社大 理系(理工) 数学3



第3問

  次の問いに答えよ。

 (1) 数列{an}は
       $\small\sf{\begin{align*} \sf a_1=1\ \ ,\ \ a_n=\frac{n-1}{n+1}\ a_{n-1}\ \ \ \ \ (n\geqq 2)\end{align*}}$
    をみたしている。{an}の一般項をnを用いて表せ。

 (2) 数列{bn}は
       $\small\sf{\begin{align*} \sf b_1=1\ \ ,\ \ b_n=\frac{n^2+n+1}{n^2-n+1}\ b_{n-1}\ \ \ \ \ (n\geqq 2)\end{align*}}$
    をみたしている。{bn}の一般項をnを用いて表せ。

 (3) 数列{cn}は
       $\small\sf{\begin{align*} \sf c_1=1\ \ ,\ \ c_n=\frac{n^3-1}{n^3+1}\ c_{n-1}\ \ \ \ \ (n\geqq 2)\end{align*}}$
    をみたしている。{cn}の一般項をnを用いて表せ。

 (4) 上の(3)の{cn}に対し、
       $\small\sf{\begin{align*} \sf S_n=\sum_{k=1}^n\ c_k\end{align*}}$
    をnを用いて表せ。




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  1. 2012/08/24(金) 23:54:00|
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2010同志社大 理系(理工) 数学4



第4問

  行列S、Tを
       $\small\sf{\begin{align*} \sf S=\begin{pmatrix}\sf 0 &1\\ 4 &0\end{pmatrix}\ \ ,\ \ T=\begin{pmatrix}\sf 0 &2\\ 2 &0\end{pmatrix}\end{align*}}$
  とし、mを正の整数とする。次の問いに答えよ。

 (1) 行列S3T2、(S+T)5を求めよ。

 (2) 行列(S+T)2m+1を求めよ。

 (3) (1+x)2m+1の展開式を用いて、
       $\small\sf{\begin{align*} \sf _{2m+1}C_0+_{2m+1}C_2+\ldots+_{2m+1}C_{2k}+\ldots+_{2m+1}C_{2m}\end{align*}}$
      $\small\sf{\begin{align*} \sf =_{2m+1}C_1+_{2m+1}C_3+\ldots+_{2m+1}C_{2k+1}+\ldots+_{2m+1}C_{2m+1}\end{align*}}$
      $\small\sf{\begin{align*} \sf =2^{2m}\end{align*}}$
    であることを示せ。

 (4) $\small\sf{\begin{align*} \sf S^{2m+1}+_{2m+1}C_1\ S^{2m}\ T+\ldots+_{2m+1}C_r\ S^{2m+1-r}\ T^r+\ldots+T^{2m+1}\end{align*}}$
    を求めよ。

 (5) 正の整数mに対し、
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf a_m &\sf b_m\\ \sf c_m &\sf d_m\end{pmatrix}=(S+T)^{2m+1}\end{align*}}$
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf x_m &\sf y_m\\ \sf z_m &\sf u_m\end{pmatrix}=S^{2m+1}+_{2m+1}C_1\ S^{2m}\ T+\ldots+_{2m+1}C_r\ S^{2m+1-r}\ T^r+\ldots+T^{2m+1}\end{align*}}$
    とおく。bmとymのどちらが大きいか判定せよ。
    また、cmとzmのどちらが大きいか判定せよ。




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  1. 2012/08/24(金) 23:57:00|
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