第1問
(2) 曲線
$\small\sf{\begin{align*} \sf C:\ y=x+\frac{1}{\sqrt x}\ \ \ (1\leqq x\leqq 4)\end{align*}}$
と直線x=1、x=4およびx軸で囲まれた部分の面積は ク
であり、それをx軸のまわりに回転させてできる回転体とy軸の
まわりに回転させてできる回転体の体積はそれぞれ ケ と
コ である。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
ク $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{19}{2}\end{align*}}$ ケ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{91}{3}+\log 4\right)n\pi\end{align*}}$ コ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{154}{3}\ \pi\end{align*}}$
【解説】
(2)
C：y=ｆ(x) とおいて、導関数ｆ’(x)を求めると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dy}{dx}=f\ '(x)=1-\frac{1}{2x\sqrt x}\end{align*}}$ ････①
となり、
1≦x≦4の範囲では常にｆ’(x)＞0となるので、
ｆ(x)は単調に増加する。
また、ｆ(1)=2＞0より、1≦x≦4で常にｆ(x)＞0である。
曲線C、x軸、x=1、x=4で囲まれる図形をDとすると、
その面積Sは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_1^4\left(x+\frac{1}{\sqrt x}\right)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{1}{2}x^2+2\sqrt x\ \right]_1^4\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{19}{2}\ \ }\end{align*}}$
Dをx軸回転してできる回転体の体積をV1とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_1=\pi\int_1^4\left(x+\frac{1}{\sqrt x}\right)^2\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\int_1^4\left(x^2+2\sqrt x+\frac{1}{x}\right)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{1}{3}x^3+\frac{4}{3}x\sqrt x+\log |x|\ \right]_1^4\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \left(\frac{91}{3}+\log 4\right)n\pi\ \ }\end{align*}}$
一方、Dをy軸回転してできる回転体の体積をV2とすると、
V2は、
(赤色部分の回転体)－(青色部分の回転体)－(緑色部分の回転体)
として求めることができるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_2=4^2\pi\cdot \frac{9}{2}-1^2\pi\cdot 2-\pi\int_2^{\frac{9}{2}}x^2\ dy\end{align*}}$ ．
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=x+\frac{1}{\sqrt x}\end{align*}}$
と置換すると、②より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_2=70\pi-\pi\int_1^4\ x^2\left(1-\frac{1}{2x\sqrt x}\right)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =70\pi-\pi\int_1^4\left(x^2-\frac{1}{2}\sqrt x\right)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =70\pi-\pi\left[\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{3}x\sqrt x\ \right]_1^4\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{154}{3}\ \pi\ \ }\end{align*}}$
最後のy軸回転体だけは少し難しいかもしれませんね。
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第2問
関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=x\ e^{-|x|}\end{align*}}$
について次の問いに答えよ。
(1) ｆ(x)の極値を求めよ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow\infty}\ t\ e^{-t}=0\end{align*}}$ を利用して、y=ｆ(x)のグラフの概形を描け。
(3) 直線y=ｍxと曲線y=ｆ(x)が原点以外に共有点を持つための
条件を、ｍを用いて表せ。
(4) 直線y=ｍxと曲線y=ｆ(x)が原点以外に共有点を持つとする。
このとき、直線y=ｍxと曲線y=ｆ(x)で囲まれた部分の面積を
求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
まず、
ｆ(－x)=－xｅ-|-x|=－xｅ-|x|=－ｆ(x)
なので、ｆ(x)は奇関数となり、y=ｆ(x)のグラフは、
原点について対称である。
x≧0のとき、ｆ(x)=xｅ-xとなり、導関数は、
ｆ’(x)=ｅ-x+x･(－ｅ-x)=(1－x)ｅ-x．
これらをもとに増減表を書くと、下のようになる。
よって、
x=1で極大値ｅ-1、 x=－1で極小値－ｅ-1
をとる。
(2)
(1)の増減表をもとにy=ｆ(x)のグラフを描くと下のようになる。
(3)
ｆ’(0)=1より、直線y=ｍxと曲線y=ｆ(x)が原点以外に
共有点を持つためには、
0＜ｍ＜1
であればよい。
(4)
図の対称性より、x≧0の範囲で考える。
y=ｆ(x)とy=ｍxの共有点は、
xｅ-x=ｍx
⇔ ｅ-x=ｍ （∵x≠0）
⇔ x=－logｍ．
よって、y=ｆ(x)とy=ｍxで囲まれる
部分の面積Sは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=2\int_0^{-\log m}\ (xe^{-x}-mx)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\left[-xe^{-x}\ \right]_0^{-\log m}+2\int_0^{-\log m}e^{-x}\ dx-2\left[\frac{m}{2}\ x^2\ \right]_0^{-\log m}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2m\log m-2\left[e^{-x}\right]_0^{-\log m}-m(\log m)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 2m\log m-2m+2-m(\log m)^2\ \ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \end{align*}}$
図の対称性には気づきますよね。
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第3問
次の問いに答えよ。
(1) 数列{an}は
$\small\sf{\begin{align*} \sf a_1=1\ \ ,\ \ a_n=\frac{n-1}{n+1}\ a_{n-1}\ \ \ \ \ (n\geqq 2)\end{align*}}$
をみたしている。{an}の一般項をｎを用いて表せ。
(2) 数列{bn}は
$\small\sf{\begin{align*} \sf b_1=1\ \ ,\ \ b_n=\frac{n^2+n+1}{n^2-n+1}\ b_{n-1}\ \ \ \ \ (n\geqq 2)\end{align*}}$
をみたしている。{bn}の一般項をｎを用いて表せ。
(3) 数列{cn}は
$\small\sf{\begin{align*} \sf c_1=1\ \ ,\ \ c_n=\frac{n^3-1}{n^3+1}\ c_{n-1}\ \ \ \ \ (n\geqq 2)\end{align*}}$
をみたしている。{cn}の一般項をｎを用いて表せ。
(4) 上の(3)の{cn}に対し、
$\small\sf{\begin{align*} \sf S_n=\sum_{k=1}^n\ c_k\end{align*}}$
をｎを用いて表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
与えられた漸化式は、任意の自然数ｎ(≧2)に対して成り立つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=\frac{n-1}{n+1}\ a_{n-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n-1}=\frac{n-2}{n}\ a_{n-2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n-2}=\frac{n-3}{n-1}\ a_{n-3}\end{align*}}$
･･･
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_3=\frac{2}{4}\ a_{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_2=\frac{1}{3}\ a_{1}\end{align*}}$
これらを辺々かけると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=\frac{n-1}{n+1}\cdot\frac{n-2}{n}\cdot\frac{n-3}{n-1}\cdot\frac{n-4}{n-2}\cdot\ldots\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}\cdot\frac{1}{3}\ a_1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2\cdot1}{n(n+1)}\ a_1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{2}{n(n+1)}\ \ }\end{align*}}$
(2)
(ｎ－1)2+(ｎ－1)+1=ｎ2－ｎ+1
なので、与えられた漸化式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n=\frac{n^2+n+1}{(n-1)^2+(n-1)+1}\ b_{n-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{b_n}{n^2+n+1}=\frac{b_{n-1}}{(n-1)^2+(n-1)+1}\end{align*}}$
と変形できる。この式において、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X_n=\frac{b_n}{n^2+n+1}\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X_1=\frac{1}{3}\ \ ,\ \ X_n=X_{n-1}\end{align*}}$ ．
数列{Xn}は定数列になるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X_n=X_1=\frac{1}{3}\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ b_n=\frac{n^2+n+1}{3}\ \ }\end{align*}}$
(3)
与えられた漸化式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c_n=\frac{(n-1)(n^2+n+1)}{(n+1)(n^2-n+1)}\ c_{n-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{c_n}{n^2+n+1}=\frac{n-1}{n+1}\cdot\frac{c_{n-1}}{(n-1)^2+(n-1)+1}\end{align*}}$
と変形できる。この式において、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y_n=\frac{c_n}{n^2+n+1}\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y_1=\frac{1}{3}\ \ ,\ \ Y_n=\frac{n-1}{n+1}\ Y_{n-1}\end{align*}}$ ．
(1)と同様にすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y_n=\frac{2}{n(n+1)}\ Y_1=\frac{2}{3n(n+1)}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c_n=(n^2+n+1)\ Y_n=\underline{\ \frac{2(n^2+n+1)}{3n(n+1)}\ \ }\end{align*}}$
(4)
(3)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c_n=\frac{2}{3}\left\{1+\frac{1}{n(n+1)}\right\}\end{align*}}$
と変形できるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_n=\frac{2}{3}\sum_{k=1}^n\left\{1+\frac{1}{k(k+1)}\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{3}\left\{n+\sum_{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{3}\left\{n+\sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{3}\left(n+1-\frac{1}{n+1}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{2n(n+2)}{3(n-1)}\ \ }\end{align*}}$
(2)の
(ｎ－1)2+(ｎ－1)+1=ｎ2－ｎ+1
の変形に気づかないと無理っぽいですね＾＾；；
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第4問
行列S、Tを
$\small\sf{\begin{align*} \sf S=\begin{pmatrix}\sf 0 &1\\ 4 &0\end{pmatrix}\ \ ,\ \ T=\begin{pmatrix}\sf 0 &2\\ 2 &0\end{pmatrix}\end{align*}}$
とし、ｍを正の整数とする。次の問いに答えよ。
(1) 行列S3T2、(S+T)5を求めよ。
(2) 行列(S+T)2m+1を求めよ。
(3) (1+x)2m+1の展開式を用いて、
$\small\sf{\begin{align*} \sf _{2m+1}C_0+_{2m+1}C_2+\ldots+_{2m+1}C_{2k}+\ldots+_{2m+1}C_{2m}\end{align*}}$
$\small\sf{\begin{align*} \sf =_{2m+1}C_1+_{2m+1}C_3+\ldots+_{2m+1}C_{2k+1}+\ldots+_{2m+1}C_{2m+1}\end{align*}}$
$\small\sf{\begin{align*} \sf =2^{2m}\end{align*}}$
であることを示せ。
(4) $\small\sf{\begin{align*} \sf S^{2m+1}+_{2m+1}C_1\ S^{2m}\ T+\ldots+_{2m+1}C_r\ S^{2m+1-r}\ T^r+\ldots+T^{2m+1}\end{align*}}$
を求めよ。
(5) 正の整数ｍに対し、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf a_m &\sf b_m\\ \sf c_m &\sf d_m\end{pmatrix}=(S+T)^{2m+1}\end{align*}}$
$\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf x_m &\sf y_m\\ \sf z_m &\sf u_m\end{pmatrix}=S^{2m+1}+_{2m+1}C_1\ S^{2m}\ T+\ldots+_{2m+1}C_r\ S^{2m+1-r}\ T^r+\ldots+T^{2m+1}\end{align*}}$
とおく。bmとymのどちらが大きいか判定せよ。
また、cmとzmのどちらが大きいか判定せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
ハミルトン・ケーリーの定理より、
S2－(0+0)S+(0－4)E=Ｏ ⇔ S2=4E ････①
T2－(0+0)T+(0－4)E=Ｏ ⇔ T2=4E ････②
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S^3 T^2=4E\cdot 4E\cdot S=16S=\underline{\ \begin{pmatrix}\sf 0 &16\\ 64 &0\end{pmatrix}\ \ }\end{align*}}$ ．
一方、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=S+T=\begin{pmatrix}\sf 0 &3\\ 6 &0\end{pmatrix}\end{align*}}$
とおくと、ハミルトン・ケーリーの定理より、
A2－(0+0)A+(0－18)E=Ｏ ⇔ A2=18E ････③
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (S+T)^5=A^5=18E\cdot 18E\cdot A=\underline{\ \begin{pmatrix}\sf 0&\sf 972\\ \sf 1944& 0\end{pmatrix}\ \ }\end{align*}}$
(2)
③より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (S+T)^{2m+1}=A^{2m}\cdot A=18^m\ A=\underline{\ \begin{pmatrix}\sf 0 &\sf 3\cdot18^m\\ \sf 6\cdot 18^m &\sf0\end{pmatrix}\ \ }\end{align*}}$
(3)
二項定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (1+x)^{2m+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =_{2m+1}C_0+_{2m+1}C_1x+_{2m+1}C_2x^2+\ldots+_{2m+1}C_{2m}x^{2m}+_{2m+1}C_{2m+1}x^{2m+1}\end{align*}}$ ．
これにx=1およびx=－1を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2^{2m+1}=_{2m+1}C_0+_{2m+1}C_1+_{2m+1}C_2+\ldots+_{2m+1}C_{2m}+_{2m+1}C_{2m+1}\end{align*}}$ ･･･④
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0=_{2m+1}C_0-_{2m+1}C_1+_{2m+1}C_2-\ldots+_{2m+1}C_{2m}-_{2m+1}C_{2m+1}\end{align*}}$ ･･･⑤
(④+⑤)÷2より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2^{2m}=_{2m+1}C_0+_{2m+1}C_2+_{2m+1}C_4+\ldots+_{2m+1}C_{2m-2}+_{2m+1}C_{2m}\end{align*}}$ ．
(④－⑤)÷2より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2^{2m}=_{2m+1}C_1+_{2m+1}C_3+_{2m+1}C_5+\ldots+_{2m+1}C_{2m-1}+_{2m+1}C_{2m+1}\end{align*}}$ ．
以上より、題意は示された。
(4)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X=S^{2m+1}+_{2m+1}C_1\ S^{2m}\ T+\ldots+_{2m+1}C_r\ S^{2m+1-r}\ T^r+\ldots+T^{2m+1}\end{align*}}$ とおく。
r=2ｋ（ｋは0≦ｋ≦ｍの整数）のとき、
S2m+1-rTr=S2m+1-2kT2k
=S2(m-k)T2k･S
=(4E)m-k(4E)k･S ←①、②より
=4mS
r=2ｋ+1（ｋは0≦ｋ≦ｍの整数）のとき、
S2m+1-rTr=S2m-2kT2k+1
=S2(m-k)T2k･T
=(4E)m-k(4E)k･T ←①、②より
=4mT
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X=4^m\ (_{2m+1}C_0+_{2m+1}C_2+_{2m+1}C_4+\ldots +_{2m+1}C_{2m})\ S\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf +4^m\ (_{2m+1}C_1+_{2m+1}C_3+_{2m+1}C_5+\ldots +_{2m+1}C_{2m+1})\ T\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =4^m\cdot 2^{2m}\ (S+T)\end{align*}}$ ←(3)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \begin{pmatrix}\sf 0&\sf 3\cdot 16^m\\ \sf 6\cdot 16^m& \end{pmatrix}\ \ }\end{align*}}$
(5)
(2)より、
bm=3･18m、 cm=6･18m．
(4)より、
ym=3･16m、 zm=6･16m．
よって、
bm＞ym cm＞zm
(4)の変形が難しいでしょうね・・・
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