第1問
次の に適する数または式を、解答用紙の同じ記号のついた
の中に記入せよ。
(1) 曲線y=3x上の点P(a，3a)における接線の方程式は、
y= ア
であり、また法線の方程式は
y= イ
である。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
導関数は
y’=3xlog3
なので、点Pにおける接線の方程式は、
y－3a=3a(log3)(x－a)
⇔ y=3a(log3)x－3a(alog3－1)
法線の方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-3^a=-\frac{1}{3^a\ \log 3}(x-a)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y=-\frac{1}{3^a\ \log 3}(x-a)+3^a\end{align*}}$
ア、3a(log3)x－3a(alog3－1)
イ、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{3^a\ \log 3}(x-a)+3^a\end{align*}}$
これはそのままですね。スラスラどうぞ。
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- 2012/08/04(土) 23:54:00|
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第1問
次の に適する数または式を、解答用紙の同じ記号のついた
の中に記入せよ。
(2) 行列A、Eを
$\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf -7 &40\\ -2 &11\end{pmatrix}\ \ ,\ \ E=\begin{pmatrix}\sf 1 &0\\ 0 &1\end{pmatrix}\end{align*}}$
とする。行列
$\small\sf{\begin{align*} \sf A-kE=\begin{pmatrix}\sf -7-k&\sf 40\\ -2 &\sf 11-k\end{pmatrix}\end{align*}}$
が逆行列を持たないｋの値をｋ1、ｋ2（ｋ1＜ｋ2）とすると、
ｋ1= ウ 、 ｋ2= エ
である。
$\small\sf{\begin{align*} \sf A\begin{pmatrix}\sf a\\ 1\end{pmatrix}k_1\ \begin{pmatrix}\sf a\\ 1\end{pmatrix}\ \ ,\ \ A\binom{\sf b}{1}=k_2\ \binom{\sf b}{1}\end{align*}}$
を満たすa、bは
a= オ 、 b= カ
であり、このa、bに対し、
$\small\sf{\begin{align*} \sf B=\begin{pmatrix}\sf a &\sf b\\ 1 &1\end{pmatrix}\end{align*}}$
とおき、B-1ABを利用すれば、正の整数ｎに対して、
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(2)
行列A－ｋEのデターミナントを考えると、
det(A－ｋE)=(－7－ｋ)(11－ｋ)+2･40=0
⇔ ｋ2－4ｋ+3=(ｋ－1)(ｋ－3)=0
⇔ ｋ=1，3
よって、ｋ1=1 、 ｋ2=3．
このとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf -7 &40\\ -2\ \ &11\end{pmatrix}\binom{\sf a}{1}=\binom{\sf a}{1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \binom{\sf -7a+40}{-2a+11}=\binom{\sf a}{1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a=5\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf -7 &40\\ -2&11\end{pmatrix}\binom{\sf b}{1}=3\binom{\sf b}{1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \binom{\sf -7b+40}{-2b+11}=\binom{\sf 3b}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b=4\end{align*}}$
となり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B=\begin{pmatrix}\sf 5 &4\\ 1 &1\end{pmatrix}\end{align*}}$
を得る。このBに対して、デターミナントは
detB=5－4=1
なので、逆行列B-1が存在し、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B^{-1}=\begin{pmatrix}\sf 1 &-4\\ -1& 5\end{pmatrix}\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B^{-1}AB=\begin{pmatrix}\sf 1 &-4\\ -1 &\ 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf -7 &40\\ -2&11\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf 5 &4\\ 1 &1\end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\begin{pmatrix}\sf 1 &-4\\ -3 &15\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf 5 &4\\ 1 &1\end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\begin{pmatrix}\sf 1 &0\\ 0 &3\end{pmatrix}\end{align*}}$
であり、両辺をｎ乗すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (B^{-1}AB)^n=\begin{pmatrix}\sf 1 &0\\ 0 &3\end{pmatrix}^n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ B^{-1}A^nB=\begin{pmatrix}\sf 1 &0\\ 0 &3^n\end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ A=B\begin{pmatrix}\sf 1 &0\\ 0 &3^n\end{pmatrix}B^{-1}=\begin{pmatrix}\sf 5 &4\\ 1 &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf 1 &0\\ 0 &3^n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf 1 &-4\\ -1 &\ 5\end{pmatrix}\end{align*}}$ ．
これを計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A^n=\begin{pmatrix}\sf 5-4\cdot3^n &\sf -20+20\cdot3^n\\ \sf 1-3^n &\sf -4+5\cdot3^n\end{pmatrix}\end{align*}}$
ウ、 1
エ、 3
オ、 5
カ、 4
キ、 5－4･3n
ク、 -20+20･3n
ケ、 1－3n
コ、 －4+5･3n
親切な誘導がついているので、そのまま乗っかっていくだけですね。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (B^{-1}AB)^n=\begin{pmatrix}\sf 1 &0\\ 0 &3\end{pmatrix}^n\ \ \Leftrightarrow\ \ B^{-1}A^nB=\begin{pmatrix}\sf 1 &0\\ 0 &3^n\end{pmatrix}\end{align*}}$
の変形がよく分からない人は、もういちど教科書からどうぞ。
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第2問
実数aがa＞ｅを満たすとし、曲線y=logx （x＞0）上に定点
A(1，0)、B(ｅ，1)と点P(a，loga)をとる。また、x軸上に
点Q(a，0)をとる。次の問いに答えよ。
(1) 曲線y=logx上の点Bにおける接線Lの方程式を求めよ。
(2) 上の(1)で求めた接線L、曲線y=logx、直線x=1、x=a
で囲まれる部分の面積S1(a)を求めよ。
(3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow\infty}\ \frac{S_1(a)}{a^2}\end{align*}}$ を求めよ。（必要なら $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow\infty}\ \frac{\log a}{a}=0\end{align*}}$ を使ってよい）
(4) 曲線y=logxと線分APで囲まれる部分の面積S2(a)を
求めよ。
(5) △APQの面積S3(a)と
$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow\infty}\ \frac{S_2(a)}{S_3(a)}\end{align*}}$
を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
曲線y=logxをCとする。
(1)
関数y=logxの第1次導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y\ '=\frac{1}{x}\end{align*}}$
なので、Cの点Bにおける接線Lの方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-1=\frac{1}{e}(x-e)\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ y=\frac{1}{e}\ x\ \ }\end{align*}}$
(2)
関数y=logxの第2次導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y\ ''=-\frac{1}{x^2}<0\end{align*}}$
となるので、Cのグラフは上に凸である。
よって、区間1≦x≦aにおいて常にCは
Lより下側にあるので、
右図の水色部分の面積S1(a)は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_1(a)=\int_1^a\left(\frac{1}{e}\ x-\log x\right)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{1}{2e}\ x^2-x\log x+x\right]_1^a\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{a^2-1}{2e}-a\log a+a-1\ \ }\end{align*}}$
(3)
(2)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow\infty}\ \frac{S_1(a)}{a^2}=\lim_{a\rightarrow\infty}\ \left(\frac{a^2-1}{2e\ a^2}-\frac{\log a}{a}+\frac{1}{a}-\frac{1}{a^2}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{a\rightarrow\infty}\ \left(\frac{1}{2e}-\frac{1}{2e\ a^2}-\frac{\log a}{a}+\frac{1}{a}-\frac{1}{a^2}\right)\end{align*}}$ .
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow\infty}\ \frac{\log a}{a}=\lim_{a\rightarrow\infty}\ \frac{1}{a}=\lim_{a\rightarrow\infty}\ \frac{1}{a^2}=0\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow\infty}\ \frac{S_1(a)}{a^2}=\underline{\ \frac{1}{2e}\ \ }\end{align*}}$
(4)
直線APの方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{\log a}{a-1}\ (x-1)\end{align*}}$
なので、
右図の緑色の部分の面積S2(a)は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_2(a)=\int_1^a\left(\log x-\frac{\log a}{a-1}\ (x-1)\right)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[x\log x-x-\frac{\log a}{2(a-1)}\ (x-1)^2\right]_1^a\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =a\log a-a-\frac{(\log a)(a-1)}{2}+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{2}\ (a+1)\log a-a+1\ \ }\end{align*}}$
(5)
右図の赤色部分の面積S3(a)は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_3(a)=\underline{\ \frac{1}{2}\ (a-1)\log a\ \ }\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow\infty}\ \frac{S_2(a)}{S_3(a)}=\lim_{a\rightarrow\infty}\left(\frac{\frac{1}{2}\ (a+1)\log a}{\frac{1}{2}\ (a-1)\log a}-\frac{a-1}{\frac{1}{2}\ (a-1)\log a}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{a\rightarrow\infty}\left(\frac{a+1}{a-1}-\frac{2}{\log a}\right)\end{align*}}$ ．
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow\infty}\ \frac{2}{\log a}=0\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow\infty}\ \frac{S_2(a)}{S_3(a)}=\lim_{a\rightarrow\infty}\ \frac{a+1}{a-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{a\rightarrow\infty}\ \frac{1+\frac{1}{a}}{1-\frac{1}{a}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 1\ \ }\end{align*}}$
まぁこんなもんでしょ
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第3問
実数a、bはa＞0、b＞1を満たすとする。2曲線
$\small\sf{\begin{align*} \sf C_1:\ x^2-\frac{y^2}{a^2}=1\ \ ,\ \ C_2:\ \frac{x^2}{b^2}+y^2=1\end{align*}}$
の第1象限における交点をP(s，ｔ)とし、Pにおける2曲線
C1とC2の接線をそれぞれL1、L2とする。次の問いに答えよ。
(1) sおよびｔをa、bを用いて表せ。
(2) 2曲線L1、L2が直交するとき、bをaで表せ。
(3) 実数a、bが(2)の条件を満たしながら変化するとき、
Pの軌跡を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
C2の式より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y^2=1-\frac{x^2}{b^2}\end{align*}}$ ････①
これをC1の式に代入して整理すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2-\frac{1}{a^2}\left(1-\frac{x^2}{b^2}\right)=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2=\frac{(a^2+1)b^2}{a^2b^2+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=\sqrt{\frac{(a^2+1)b^2 }{a^2b^2+1}}\ \ \ (>0)\end{align*}}$ ．
これを①に代入して整理すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y^2=1-\frac{1}{b^2}\cdot\frac{(a^2+1)b^2}{a^2b^2+1}=\frac{(b^2-1)a^2}{a^2b^2+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y=\sqrt{\frac{(b^2-1)a^2}{a^2b^2+1}}\ \ (>0)\end{align*}}$
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ s=\sqrt{\frac{(a^2+1)b^2}{a^2b^2+1}}\ \ ,\ \ t=\sqrt{\frac{(b^2-1)a^2}{a^2b^2+1}}\ \ }\end{align*}}$
(2)
2曲線C1とC2のPにおける接線L1、L2の方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_1:\ s\ x-\frac{t\ y}{a^2}=1\ \ \Leftrightarrow\ \ y=\frac{a^2s}{t}\ x-\frac{a^2}{t}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_2:\ \frac{s\ x}{b^2}+t\ y=1\ \ \Leftrightarrow\ \ y=-\frac{s}{b^2t}\ x+\frac{1}{t}\end{align*}}$
となり、これらが直交するので、傾きの積を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a^2s}{t}\cdot\left(-\frac{s}{b^2t}\right)=-1\ \ \Leftrightarrow\ \ a^2s^2=b^2t^2\end{align*}}$ ．
これに(1)で求めたs、ｔを代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^2\cdot\frac{(a^2+1)b^2}{a^2b^2+1}=b^2\cdot\frac{(b^2-1)a^2}{a^2b^2+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a^2+1=b^2-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ b=\sqrt{a^2+2}\ \ \ (>0)\ \ }\end{align*}}$
(3)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s^2+t^2=\frac{(a^2+1)b^2+(b^2-1)a^2}{a^2b^2+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2a^2b^2-a^2+b^2}{a^2b^2+1}\end{align*}}$ ．
ここで、(2)より、
－a2+b2=2
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s^2+t^2=\frac{2a^2b^2+2}{a^2b^2+1}=2\end{align*}}$ ････②
一方、(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{t^2}{s^2}=\frac{(b^2-1)a^2}{(a^2+1)b^2}\end{align*}}$
であり、(2)を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{t^2}{s^2}=\frac{(a^2+1)a^2}{(a^2+1)(a^2+2)}=\frac{a^2}{a^2+2}=1-\frac{2}{a^2+2}<1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t^2\lt s^2\end{align*}}$ ．
ここで、s＞0、ｔ＞0より
0＜ｔ＜s ････③
②、③より、点P(s，ｔ)は、
原点中心、半径 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ の円周上の
0＜y＜xの部分を動く（右図）。
(3)の②は気づかないでしょうね････
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- 2012/08/06(月) 23:57:00|
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第4問
実数a（0≦a≦$\small\sf{\pi}$ /3）に対し、
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=3\sin \left(\frac{x}{3}\right)+\sin(a-x)\end{align*}}$ （0≦x≦$\small\sf{\pi}$ ）
とする。次の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf 4\sin\frac{\pi}{12}\end{align*}}$ の値を求めよ。また、 $\small\sf{\begin{align*} \sf 4\sin\frac{\pi}{12}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ のどちらが
大きいかを判定せよ。
(2) ｆ’(x)=0となるx（0＜x＜$\small\sf{\pi}$ ）を求めよ。
(3) ｆ(x) （0≦x≦$\small\sf{\pi}$ ）の最大値Ｍ(a)と最小値ｍ(a)を求めよ。
(4) Ｍ(a)とｍ(a) （0≦a≦$\small\sf{\pi}$ /3）のそれぞれについて最大値と
最小値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
加法定理より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4\sin\frac{\pi}{12}=4\sin\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =4\left(\sin\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4}-\cos\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =4\left(\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \sqrt6-\sqrt2\ \ }\end{align*}}$ ．
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\sqrt6-\sqrt2\right)^2-\left(\sqrt3\right)^2=5-4\sqrt2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{25}-\sqrt{32}<0\end{align*}}$
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt6-\sqrt2>0\ \ ,\ \ \sqrt3>0\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt6-\sqrt2<\sqrt3\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ 4\sin\frac{\pi}{12}<\sqrt3\ \ }\end{align*}}$
(2)
ｆ(x)を微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\cos\left(\frac{x}{3}\right)-\cos(a-x)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-2\sin\frac{3a-2x}{6}\ \sin\frac{-3a+4x}{6}\end{align*}}$ ←和・積の公式
となり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \sin\frac{3a-2x}{6}=0\ \ \ or\ \ \ \sin\frac{-3a+4x}{6}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{3a-2x}{6}=n\ \pi\ \ \ or\ \ \ \frac{-3a+4x}{6}=n\ \pi\end{align*}}$ （ｎ：整数）
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{3}{2}\ a-3n\ \pi\ \ ,\ \ \frac{3}{4}\ a+\frac{3}{2}n\pi\end{align*}}$ ．
0≦a≦$\scriptsize\sf{\pi}$ /3 かつ 0＜x＜$\scriptsize\sf{\pi}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ x=\frac{3}{2}\ a\ \ ,\ \ \frac{3}{4}\ a\ \ }\end{align*}}$
(3)
0≦x≦$\scriptsize\sf{\pi}$ の範囲でｆ(x)の増減表を書くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (0)-f\ \left(\frac{3}{2}\ a\right)=\sin a-2\sin\frac{a}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\sin\frac{a}{2}\ \cos\frac{a}{2}-2\sin\frac{a}{2}\end{align*}}$ ←倍角公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\sin\frac{a}{2}\left(\cos\frac{a}{2}-1\right)\leqq 0\end{align*}}$
なので、ｆ(x)の最小値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ m\ (a)=f\ (0)=\sin a\ \ }\end{align*}}$
一方、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (a)=f\ \left(\frac{3}{4}\ a\right)-f\ (\pi)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =4\sin\frac{a}{4}-\left(\frac{3}{2}\sqrt3-\sin a\right)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ '(a)=\cos\frac{a}{4}+\cos a>0\ \ \ \left(\because\ 0\leqq a\leqq \frac{\pi}{3}\right)\end{align*}}$
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\left(\frac{\pi}{3}\right)=4\sin\frac{\pi}{12}+\frac{\sqrt3}{2}-\frac{3}{2}\sqrt3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =4\sin\frac{\pi}{12}-\sqrt3<0\ \ \ \ \ (\because\ (1)\ \ )\end{align*}}$
なので、区間0≦a≦$\scriptsize\sf{\pi}$ /3において常に
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (a)<0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ f\left(\frac{3}{4}a\right)\lt f\ (\pi)\end{align*}}$ ．
よって、ｆ(x)の最大値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ M\ (a)=f\ (\pi)=\frac{3}{2}\sqrt3-\sin a\ \ }\end{align*}}$
(4)
区間0≦a≦$\scriptsize\sf{\pi}$ /3において、ｍ(a)は単調増加なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m\ (a)_{min}=m\ (0)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m\ (a)_{max}=m\ \left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt3}{2}\end{align*}}$
一方、
区間0≦a≦$\scriptsize\sf{\pi}$ /3において、Ｍ(a)は単調減少なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M\ (a)_{min}=M\ \left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M\ (a)_{max}=M\ (0)=\frac{3}{2}\sqrt3\end{align*}}$
少しゴチャゴチャした感じが同志社っぽいですね。
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