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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2011同志社大 理系(理工) 数学1(1)



第1問

  次の    に適する数または式を、解答用紙の同じ記号のついた
      の中に記入せよ。

 (1) 曲線y=3x上の点P(a,3a)における接線の方程式は、
           y= ア 
    であり、また法線の方程式は
           y= イ 
    である。



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  1. 2012/08/04(土) 23:54:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の私立大学 .同志社大 理系 2011(理工)
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2011同志社大 理系(理工) 数学1(2)



第1問

  次の    に適する数または式を、解答用紙の同じ記号のついた
      の中に記入せよ。

 (2) 行列A、Eを
          $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf -7 &40\\ -2 &11\end{pmatrix}\ \ ,\ \ E=\begin{pmatrix}\sf 1 &0\\ 0 &1\end{pmatrix}\end{align*}}$
    とする。行列
          $\small\sf{\begin{align*} \sf A-kE=\begin{pmatrix}\sf -7-k&\sf 40\\ -2 &\sf 11-k\end{pmatrix}\end{align*}}$
    が逆行列を持たないkの値をk1、k2(k1<k2)とすると、
           k1= ウ   、 k2= エ 
    である。
          $\small\sf{\begin{align*} \sf A\begin{pmatrix}\sf a\\ 1\end{pmatrix}k_1\ \begin{pmatrix}\sf a\\ 1\end{pmatrix}\ \ ,\ \ A\binom{\sf b}{1}=k_2\ \binom{\sf b}{1}\end{align*}}$
    を満たすa、bは
           a= オ   、 b= カ 
    であり、このa、bに対し、
          $\small\sf{\begin{align*} \sf B=\begin{pmatrix}\sf a &\sf b\\ 1 &1\end{pmatrix}\end{align*}}$
    とおき、B-1ABを利用すれば、正の整数nに対して、
         図03
解答はこちら↓

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  1. 2012/08/04(土) 23:57:00|
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2011同志社大 理系(理工) 数学2




第2問

  実数aがa>eを満たすとし、曲線y=logx (x>0)上に定点
  A(1,0)、B(e,1)と点P(a,loga)をとる。また、x軸上に
  点Q(a,0)をとる。次の問いに答えよ。

 (1) 曲線y=logx上の点Bにおける接線Lの方程式を求めよ。

 (2) 上の(1)で求めた接線L、曲線y=logx、直線x=1、x=a
    で囲まれる部分の面積S1(a)を求めよ。

 (3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow\infty}\ \frac{S_1(a)}{a^2}\end{align*}}$ を求めよ。(必要なら $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow\infty}\ \frac{\log a}{a}=0\end{align*}}$ を使ってよい)

 (4) 曲線y=logxと線分APで囲まれる部分の面積S2(a)を
    求めよ。

 (5) △APQの面積S3(a)と
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow\infty}\ \frac{S_2(a)}{S_3(a)}\end{align*}}$
    を求めよ。




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  1. 2012/08/05(日) 23:57:00|
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2011同志社大 理系(理工) 数学3



第3問

  実数a、bはa>0、b>1を満たすとする。2曲線
       $\small\sf{\begin{align*} \sf C_1:\ x^2-\frac{y^2}{a^2}=1\ \ ,\ \ C_2:\ \frac{x^2}{b^2}+y^2=1\end{align*}}$
  の第1象限における交点をP(s,t)とし、Pにおける2曲線
  C1とC2の接線をそれぞれL1、L2とする。次の問いに答えよ。

 (1) sおよびtをa、bを用いて表せ。

 (2) 2曲線L1、L2が直交するとき、bをaで表せ。

 (3) 実数a、bが(2)の条件を満たしながら変化するとき、
    Pの軌跡を求めよ。



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  1. 2012/08/06(月) 23:57:00|
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2011同志社大 理系(理工) 数学4



第4問

  実数a(0≦a≦$\small\sf{\pi}$ /3)に対し、
       $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=3\sin \left(\frac{x}{3}\right)+\sin(a-x)\end{align*}}$   (0≦x≦$\small\sf{\pi}$ )
  とする。次の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf 4\sin\frac{\pi}{12}\end{align*}}$ の値を求めよ。また、 $\small\sf{\begin{align*} \sf 4\sin\frac{\pi}{12}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ のどちらが
    大きいかを判定せよ。

 (2) f’(x)=0となるx(0<x<$\small\sf{\pi}$ )を求めよ。

 (3) f(x) (0≦x≦$\small\sf{\pi}$ )の最大値M(a)と最小値m(a)を求めよ。

 (4) M(a)とm(a) (0≦a≦$\small\sf{\pi}$ /3)のそれぞれについて最大値と
    最小値を求めよ。




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  1. 2012/08/07(火) 23:57:00|
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