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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2012同志社大 理系(全学部日程) 数学1



第1問

 (1) 行列
        $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf 4 &2\\ 3 &3\end{pmatrix}\end{align*}}$
    は、A2-7A+ ア  E=Oを満たす。
    ただし、Eは単位行列、Oが零行列である。よって、実数c1= イ 
    を用いて、
          A2-A=c1(A-E) 
    と変形できる。更に数列cn= ウ  を用いて、
          An+1-An=cn(A-E) (n=2,3,4,・・・)
    が成り立つ。したがってAnの(1,1)成分は エ  となり、
   Anの(2,2)成分は オ  となる。


 (2) 1から9までの9枚の番号札を入れた箱がある。その箱から番号札
    を1枚ずつ3回取り出す。ただし、取り出した番号札はもとに戻さな
    い。取り出した番号がすべて3以上で6以下である確率は、 カ 
    であり、また、取り出した番号の中に2以下の番号と7以上の番号
    が両方ある確率は キ  である。取り出した3枚の番号の和の期
    待値は ク  である。
    最初に取り出した番号を百の位、次に取り出した番号を十の位、最
    後に取り出した番号を一の位として得られる3桁の数の期待値は
     ケ  である。また、この3桁の数が奇数である確率は コ 
    ある。
   



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2012/07/31(火) 23:54:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の私立大学 .同志社大 理系 2012(全学部)
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2012同志社大 理系(全学部日程) 数学2



第2問

  a>0とする。曲線
          $\small\sf{\begin{align*} \sf C:\ y=e^{ax}\ (2e^{-2ax}-ae^{-ax}+1)\end{align*}}$
  について、次の問いに答えよ。

 (1) 曲線Cとx軸が異なる2点で交わるようなaの値の範囲を求めよ。
    また、その2交点のx座標をp、q(p<q)とするとき、pとqをaを
    用いて表せ。

 (2) aが(1)で求めた範囲にあるとき、曲線Cと直線y=-aおよび
    2直線x=p、x=qで囲まれる部分の面積Sをaを用いて表せ。

 (3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow\infty}\ S\end{align*}}$ を求めよ。



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  1. 2012/08/01(水) 23:57:00|
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2012同志社大 理系(全学部日程) 数学3



第3問

  点Oを原点とする座標空間において、x軸の正の部分に点A、
  y軸の正の部分に点B、z軸の正の部分に点Cをとる。
  △ABCについて、辺ABの長さをc、辺BCの長さをa、辺CAの
  長さをbとする。次の問いに答えよ。

 (1) △ABCの∠Aの2等分線と辺BCの交点をDとする。
    $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OD}\end{align*}}$ をb、c、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ を用いて表せ。

 (2) △ABCの内接円の中心をIとする。$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf O\rm I\sf }\end{align*}}$ をa、b、c、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$
    を用いて表せ。

 (3) a=b=cのとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf O\rm I\sf }\end{align*}}$ が△ABCを含む平面と直交することを示せ。

 (4) a=b=c=3のとき、△ABCの内接円を底面とし、原点Oを頂点
    とする円錐の体積Vを求めよ。



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  1. 2012/08/02(木) 23:57:00|
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2012同志社大 理系(全学部日程) 数学4



第4問

  0≦$\small\sf{\alpha}$ ≦$\small\sf{\pi}$ /2とする。座標平面上において、連立不等式
         0≦x≦$\small\sf{\pi}$ /2
         (y-sin$\small\sf{\alpha}$ )(y-sinx)≦0
  の表す領域Dについて、次の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\alpha}$ =$\small\sf{\pi}$ /6のとき、領域Dを図示せよ。また、この場合の領域Dの
    面積を求めよ。

 (2) 領域Dをx軸のまわりに1回転してできる回転体の体積をVとする。
    Vを$\small\sf{\alpha}$ を用いて表せ。

 (3) Vの最小値とそのときのsin$\small\sf{\alpha}$ の値を求めよ。

 (4) Vの最大値とそのときのsin$\small\sf{\alpha}$ の値を求めよ。




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  1. 2012/08/03(金) 23:57:00|
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