第1問
(1) 行列
$\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf 4 &2\\ 3 &3\end{pmatrix}\end{align*}}$
は、A2－7A+ ア E=Ｏを満たす。
ただし、Eは単位行列、Ｏが零行列である。よって、実数c1= イ
を用いて、
A2－A=c1(A－E)
と変形できる。更に数列cn= ウ を用いて、
An+1－An=cn(A－E) （ｎ=2，3，4，･･･）
が成り立つ。したがってAnの(1，1)成分は エ となり、
Anの(2，2)成分は オ となる。
(2) 1から9までの9枚の番号札を入れた箱がある。その箱から番号札
を1枚ずつ3回取り出す。ただし、取り出した番号札はもとに戻さな
い。取り出した番号がすべて3以上で6以下である確率は、 カ
であり、また、取り出した番号の中に2以下の番号と7以上の番号
が両方ある確率は キ である。取り出した3枚の番号の和の期
待値は ク である。
最初に取り出した番号を百の位、次に取り出した番号を十の位、最
後に取り出した番号を一の位として得られる3桁の数の期待値は
ケ である。また、この3桁の数が奇数である確率は コ で
ある。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
ハミルトン・ケーリーの定理より
A2－(4+3)A+(12－6)E=Ｏ
⇔ A2－7A+6E=Ｏ ････①
一方、
A2－A=c1(A－E) ････②
⇔ A2－(1+c1)A+c1E=Ｏ ････②’
であり、①と②’の係数を比較すると、
c1=6．
②および、②の両辺にA、A2、A3、････、An-1とかけた式は、
A2－A=6(A－E)
A3－A2=6(A2－A)
A4－A3=6(A3－A2)
A5－A4=6(A4－A3)
････
An－An-1=6(An-1－An-2)
An+1－An=6(An－An-1) ････③
であり、③にこれらの式を順次代入していくと、
An+1－An=6(An－An-1)
=62(An-1－An-2)
=63(An-2－An-3)
･･･
=6n-1(A2－A)
=6n(A－E) ････④
Anの(1，1)成分をxnとする。
④の両辺の(1，1)成分を比較すると、
xn+1－xn=6n(4－1)=3･6n ．
数列{xn}の階差数列が 3･6nとなっているので、
ｎ≧2のｎに対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_n=x_1+\frac{18(6^{n-1}-1)}{6-1}=\frac{3\cdot6^n+2}{5}\end{align*}}$
となり、これはｎ=1のときも満たす。
Anの(2，2)成分をｗnとする。
④の両辺の(2，2)成分を比較すると、
ｗn+1－ｗn=6n(3－1)=2･6n ．
xnと同様に考えると、ｎ≧2のｎに対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf w_n=w_1+\frac{12(6^{n-1}-1)}{6-1}=\frac{2\cdot6^n+3}{5}\end{align*}}$
となり、これはｎ=1のときも満たす。
ア、6
イ、6
ウ、6n
エ、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3\cdot6^n+2}{5}\end{align*}}$
オ、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2\cdot6^n+3}{5}\end{align*}}$
(2)
カ、
3、4、5、6の中から3枚取り出せばよいので、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{_4C_3}{_9C_3}=\underline{\ \frac{1}{21}\ \ }\end{align*}}$
キ、
・2以下の番号がない場合
3～9の中から3枚取り出せばよいので、7C3通り
・7以上の番号がない場合
1～6の中から3枚取り出せばよいので、6C3通り
・2以下の番号、7以上の番号が両方ともない場合
3～6の中から3枚取り出せばよいので、4C3通り
よって、
2以下の番号と7以上の番号が両方ある確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-\frac{_7C_3+_6C_3-_4C_3}{_9C_3}=\underline{\ \frac{11}{28}\ \ }\end{align*}}$
ク、
1枚取り出した番号の期待値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1+2+3+4+5+6+7+8+9}{9}=5\end{align*}}$
よって、3枚の番号の和の期待値は、
5×3= 15
ケ、
1～3枚目の番号を順にx、y、zとおくと、得られる3桁の数Aは、
100x+10y+z．
クと同じように考えると、x、y、zの期待値はすべて5なので、
得られるAの期待値は、555 となる。
コ、
Aが奇数になるためには、zが奇数になればよい。
すなわち、
z=1，3，5，7，9
のいずれかであればよいので、その確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{5}{9}\ \ }\end{align*}}$
穴埋め問題なのでサクサク解いてください。
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- 2012/07/31(火) 23:54:00|
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第2問
a＞0とする。曲線
$\small\sf{\begin{align*} \sf C:\ y=e^{ax}\ (2e^{-2ax}-ae^{-ax}+1)\end{align*}}$
について、次の問いに答えよ。
(1) 曲線Cとx軸が異なる2点で交わるようなaの値の範囲を求めよ。
また、その2交点のx座標をp、q（p＜q）とするとき、pとqをaを
用いて表せ。
(2) aが(1)で求めた範囲にあるとき、曲線Cと直線y=－aおよび
2直線x=p、x=qで囲まれる部分の面積Sをaを用いて表せ。
(3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow\infty}\ S\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=e^{-ax}\ \ (>0)\end{align*}}$ ････①
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{1}{t}\left(2t^2-at+1\right)\end{align*}}$ ････②
と表せ、ｔ＞0より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{t}\left(2t^2-at+1\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ 2t^2-at+1=0\end{align*}}$ ････③
曲線Cがx軸と異なる2点で交わるためには、
ｔについての二次方程式③がｔ＞0の範囲に
異なる2解をもてばよい。
③の左辺をｆ(ｔ)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (t)=2\left(t-\frac{a}{4}\right)^2-\frac{a^2}{8}+1\end{align*}}$
と変形できる。
y=ｆ(x)のグラフが右図のようになればよく、
・ｆ(0)=1＞0
・③の判別式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D=a^2-8>0\ \ \Leftrightarrow\ \ a>2\sqrt2\ \ \ (\because a>0\ )\end{align*}}$
・軸 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a}{4}>0\ \ \Leftrightarrow\ \ a>0\end{align*}}$
これらを同時に満たすaの値の範囲は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a>2\sqrt2\ \ }\end{align*}}$
である。
このとき、③は異なる2つの正の解をもち、それらの値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{a\pm\sqrt{a^2-8}}{4}\end{align*}}$
であり、これらをｔ1、ｔ2（ｔ1＜ｔ2）とおく。
すなわち、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t_1=\frac{a-\sqrt{a^2-8}}{4}\ \ ,\ \ t_2=\frac{a+\sqrt{a^2-8}}{4}\end{align*}}$ ････④
一方、a＞0なので、xの関数ｅ-axは単調減少であり、
p＜qであるp、qに対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf e^{-ap}>e^{-aq}\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf e^{-ap}=t_2=\frac{a+\sqrt{a^2-8}}{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -ap=\log\ \frac{a+\sqrt{a^2-8}}{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ p=-\frac{1}{a}\log\ \frac{a+\sqrt{a^2-8}}{4}\ \ }\end{align*}}$ ．
同様にすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ q=-\frac{1}{a}\log\ \frac{a-\sqrt{a^2-8}}{4}\ \ }\end{align*}}$
(2)
②より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-(-a)=2t+\frac{1}{t}-a+a=2t+\frac{1}{t}\ >0\ \ \ (\because\ t>0)\end{align*}}$
なので、曲線Cは常に直線y=－aより上側にある。
よって、求める面積は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_p^q\left\{e^{ax}\ (2e^{-2ax}-ae^{-ax}+1)-(-a)\right\}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_p^q\left(2e^{-ax}+e^{ax}\right)\ dx\end{align*}}$
ここで、①のように置換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dt}{dx}=-a\ e^{-ax}=-at\end{align*}}$
であり、
x：p→qに対応するｔは、ｔ：ｔ2→ｔ1なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_{t_2}^{t_1}\left(2t+\frac{1}{t}\right)\cdot \left(-\frac{1}{at}\ dt\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{a}\int_{t_1}^{t_2}\left(2+\frac{1}{t^2}\right)\ dt \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{a}\left[\ 2t-\frac{1}{t}\ \right]_{t_1}^{t_2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{a}\left\{2(t_2-t_1)-\left(\frac{1}{t_2}-\frac{1}{t_1}\right)\right\}\end{align*}}$ ．
④より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t_2-t_1=\frac{\sqrt{a^2-8}}{2}\ \ ,\ \ \frac{1}{t_2}-\frac{1}{t_1}=\frac{t_1-t_2}{t_1\ t_2}=-\sqrt{a^2-8}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{a}\left(\sqrt{a^2-8}+\sqrt{a^2-8}\right)=\underline{\ \frac{2\sqrt{a^2-8}}{a}\ \ }\end{align*}}$
(3)
(2)で得られたSの分子･分母をaで割ると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=2\sqrt{1-\frac{8}{a^2}}\end{align*}}$
となり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow\infty}\ \frac{8}{a^2}=0\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \lim_{a\rightarrow\infty}\ S=2\ \ }\end{align*}}$
(1)でp、qの値が少し汚くなりますが、このレベルは想定内です。
気にせずに(2)へ！
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- 2012/08/01(水) 23:57:00|
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第3問
点Ｏを原点とする座標空間において、x軸の正の部分に点A、
y軸の正の部分に点B、z軸の正の部分に点Cをとる。
△ABCについて、辺ABの長さをc、辺BCの長さをa、辺CAの
長さをbとする。次の問いに答えよ。
(1) △ABCの∠Aの2等分線と辺BCの交点をDとする。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OD}\end{align*}}$ をb、c、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ を用いて表せ。
(2) △ABCの内接円の中心をＩとする。$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf O\rm I\sf }\end{align*}}$ をa、b、c、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$
を用いて表せ。
(3) a=b=cのとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf O\rm I\sf }\end{align*}}$ が△ABCを含む平面と直交することを示せ。
(4) a=b=c=3のとき、△ABCの内接円を底面とし、原点Ｏを頂点
とする円錐の体積Vを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
ADは∠Aを二等分するので、
BD：CD=AB：AC=c：b ････①
DはBCをc：bに内分する点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OD}=\underline{\ \frac{b}{b+c}\ \overrightarrow{\sf OB}+\frac{c}{b+c}\ \overrightarrow{\sf OC}\ \ }\end{align*}}$
(2)
①より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf BD=\frac{c}{b+c}\ BC=\frac{ac}{b+c}\end{align*}}$ ．
また、Ｉは△ABCの内心なので、
BＩは∠Bを二等分する。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A\rm I\sf :D\rm I\sf =AB:BD=c :\frac{ac}{b+c}=(b+c):a\end{align*}}$
より、ＩはADをb+c：aに内分する点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf O\rm I\sf }=\frac{a}{a+b+c}\ \overrightarrow{\sf OA}+\frac{b+c}{a+b+c}\ \overrightarrow{\sf OD}\end{align*}}$ ．
これに(1)を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \overrightarrow{\sf O\rm I\sf }=\frac{a}{a+b+c}\ \overrightarrow{\sf OA}+\frac{b}{a+b+c}\ \overrightarrow{\sf OB}+\frac{c}{a+b+c}\ \overrightarrow{\sf OC}\ \ }\end{align*}}$
(3)
A、B、Cはそれぞれx軸、y軸、z軸上にあるので、
∠AＯB=∠BＯC=∠CＯA=90°．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}=\overrightarrow{\sf OB}\cdot\overrightarrow{\sf OC}=\overrightarrow{\sf OC}\cdot\overrightarrow{\sf OA}=0\end{align*}}$ ････②
また、△ＯABにおいて三平方の定理を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf OA}\right|^2+\left|\overrightarrow{\sf OB}\right|^2=\left|\overrightarrow{\sf AB}\right|^2=c^2\end{align*}}$ ．
同様にすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf OB}\right|^2+\left|\overrightarrow{\sf OC}\right|^2=a^2\ \ ,\ \ \left|\overrightarrow{\sf OC}\right|^2+\left|\overrightarrow{\sf OA}\right|^2=b^2\end{align*}}$
であり、a=b=cのとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf OA}\right|^2+\left|\overrightarrow{\sf OB}\right|^2=\left|\overrightarrow{\sf OB}\right|^2+\left|\overrightarrow{\sf OC}\right|^2=\left|\overrightarrow{\sf OC}\right|^2+\left|\overrightarrow{\sf OA}\right|^2=a^2\end{align*}}$ ････③
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left|\overrightarrow{\sf OA}\right|=\left|\overrightarrow{\sf OB}\right|=\left|\overrightarrow{\sf OC}\right|\end{align*}}$ ････③’
一方、(2)において、a=b=cのとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf O\rm I\sf }=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OB}+\overrightarrow{\sf OC}\right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf O\rm I\sf }\cdot\overrightarrow{\sf AB}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OB}+\overrightarrow{\sf OC}\right)\cdot\left(\overrightarrow{\sf OB}-\overrightarrow{\sf OA}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\left(\left|\overrightarrow{\sf OB}\right|^2-\left|\overrightarrow{\sf OA}\right|^2\right)\end{align*}}$ ←②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =0\end{align*}}$ ←③’より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf O\rm I\sf }\cdot\overrightarrow{\sf BC}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OB}+\overrightarrow{\sf OC}\right)\cdot\left(\overrightarrow{\sf OC}-\overrightarrow{\sf OB}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\left(\left|\overrightarrow{\sf OC}\right|^2-\left|\overrightarrow{\sf OB}\right|^2\right)\end{align*}}$ ←②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =0\end{align*}}$ ←③’より
よって、ＯＩ⊥AB かつ ＯＩ⊥BC となるので、
ＯＩは△ABCを含む平面と直交する。
(4)
△ABCは一辺3の正三角形なので、その面積Sは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}\cdot 3 \cdot 3 \cdot\sin 60^{\circ}=\frac{9\sqrt3}{4}\end{align*}}$ ．
内接円の半径をrとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{r}{2}\times\left(3+3+3\right)=\frac{9\sqrt3}{4}\ \ \Leftrightarrow\ \ r=\frac{\sqrt3}{2}\end{align*}}$ ････④
一方、a=b=c=3なので、③より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf OA}\right|^2+\left|\overrightarrow{\sf OB}\right|^2=\left|\overrightarrow{\sf OB}\right|^2+\left|\overrightarrow{\sf OC}\right|^2=\left|\overrightarrow{\sf OC}\right|^2+\left|\overrightarrow{\sf OA}\right|^2=9\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left|\overrightarrow{\sf OA}\right|=\left|\overrightarrow{\sf OB}\right|=\left|\overrightarrow{\sf OC}\right|=\frac{3\sqrt2}{2}\end{align*}}$ ････⑤
(2)より、求める円錐の高さはＯＩになるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf O\rm I\sf }\right|^2=\frac{1}{9}\left|\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OB}+\overrightarrow{\sf OC}\right|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{9}\left(\left|\overrightarrow{\sf OA}\right|^2+\left|\overrightarrow{\sf OB}\right|^2+\left|\overrightarrow{\sf OC}\right|^2\right)\end{align*}}$ ････②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{9}\left(\frac{9}{2}+\frac{9}{2}+\frac{9}{2}\right)\end{align*}}$ ････⑤より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3}{2}\end{align*}}$ ････⑥
よって、求める円錐の体積Vは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\frac{1}{3}\ \pi\ r^2\times\left|\overrightarrow{\sf O\rm I\sf }\right|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\ \pi\times \left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2\times\left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{\sqrt6}{8}\ \pi\ \ }\end{align*}}$
a=b=cならＯA=ＯB=ＯCになるのは、当たり前のような気がしますが。
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- 2012/08/02(木) 23:57:00|
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第4問
0≦$\small\sf{\alpha}$ ≦$\small\sf{\pi}$ /2とする。座標平面上において、連立不等式
0≦x≦$\small\sf{\pi}$ /2
(y－sin$\small\sf{\alpha}$ )(y－sinx)≦0
の表す領域Dについて、次の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\alpha}$ =$\small\sf{\pi}$ /6のとき、領域Dを図示せよ。また、この場合の領域Dの
面積を求めよ。
(2) 領域Dをx軸のまわりに1回転してできる回転体の体積をVとする。
Vを$\small\sf{\alpha}$ を用いて表せ。
(3) Vの最小値とそのときのsin$\small\sf{\alpha}$ の値を求めよ。
(4) Vの最大値とそのときのsin$\small\sf{\alpha}$ の値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
与えられた不等式を解くと、
(y－sin$\scriptsize\sf{\alpha}$ )(y－sinx)≦0
⇔ y≦sin$\scriptsize\sf{\alpha}$ かつ y≧sinx ････① または
y≧sin$\scriptsize\sf{\alpha}$ かつ y≦sinx ････②
ここで、曲線y=sinxと直線y=sin$\scriptsize\sf{\alpha}$ の交点Pの座標は、
0≦x≦$\scriptsize\sf{\pi}$ /2、 0≦$\scriptsize\sf{\alpha}$ ≦$\scriptsize\sf{\pi}$ /2なので、
P($\scriptsize\sf{\alpha}$ ，sin$\scriptsize\sf{\alpha}$ )
となる。
よって、領域Dを図示すると下図1のようになり、
$\scriptsize\sf{\alpha}$ =$\scriptsize\sf{\pi}$ /6のときは下図2のようになる。
(2)
①の部分をx軸の周りに回転させてできる立体の体積V1は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_1=\pi\int_0^{\alpha}\left\{(\sin \alpha)^2-(\sin x)^2\right\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\int_0^{\alpha}\left\{(\sin \alpha)^2+\frac{\cos 2x-1}{2}\right\}dx\end{align*}}$ ←倍角公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\left[(\sin \alpha)^2x+\frac{1}{4}\ \sin 2x-\frac{1}{2}x\ \right]_0^{\alpha}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\left\{(\sin \alpha)^2\ \alpha+\frac{1}{4}\ \sin 2\alpha-\frac{1}{2}\ \alpha\ \right\}\end{align*}}$
②の部分をx軸の周りに回転させてできる立体の体積V2は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_2=\pi\int_{\alpha}^{\pi/2}\left\{(\sin x)^2-(\sin \alpha)^2\right\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\pi\left[(\sin \alpha)^2x+\frac{1}{4}\ \sin 2x-\frac{1}{2}x\ \right]_{\alpha}^{\pi /2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\pi\left\{\frac{\pi}{2}(\sin \alpha)^2-\frac{\pi}{4}\right\}+\pi\left\{(\sin \alpha)^2\ \alpha+\frac{1}{4}\ \sin 2\alpha-\frac{1}{2}\ \alpha\ \right\}\end{align*}}$
V=V1+V2なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=2\pi\left\{(\sin \alpha)^2\ \alpha+\frac{1}{4}\ \sin 2\alpha-\frac{1}{2}\ \alpha\ \right\}-\pi\left\{\frac{\pi}{2}(\sin \alpha)^2-\frac{\pi}{4}\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{4}\left\{(8\alpha-2\pi)\sin^2\alpha+2\sin 2\alpha-4\alpha+\pi\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{4}\left\{2(4\alpha-\pi)\sin^2\alpha+2\sin 2\alpha-(4\alpha-\pi)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{4}\left\{(4\alpha-\pi)(2\sin^2\alpha-1)+2\sin 2\alpha\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ -\frac{\pi}{4}\left\{(4\alpha-\pi)\cos2\alpha-2\sin 2\alpha\right\}\ \ }\end{align*}}$
（3）
（2）で求めたVを$\scriptsize\sf{\alpha}$ で微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V\ '=-\frac{\pi}{4}\left\{4\cos2\alpha-2(4\alpha-\pi)\sin2\alpha-4\cos 2\alpha\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{2}\left(4\alpha-\pi\right)\sin2\alpha \end{align*}}$ ．
V’=0となるのは、
4$\scriptsize\sf{\alpha}$ －$\scriptsize\sf{\pi}$ =0 または sin2$\scriptsize\sf{\alpha}$ =0
のときであり、0≦$\scriptsize\sf{\alpha}$ ≦$\scriptsize\sf{\pi}$ /2より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \alpha=0\ ,\ \frac{\pi}{4}\ ,\ \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ ．
これらより、増減表は下のようになる。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \alpha=\frac{\pi}{4}\ \ \Leftrightarrow\ \ \sin\alpha=\frac{1}{\sqrt2}\end{align*}}$
のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ V_{min}=\frac{\pi}{2}\ \ }\end{align*}}$
(4)
(3)の増減表より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \alpha=\frac{\pi}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ \sin\alpha=1\end{align*}}$ または
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \alpha=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \sin\alpha=0\end{align*}}$
のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ V_{max}=\frac{\pi^2}{4}\ \ }\end{align*}}$
(2)の計算が少しだけ面倒ですね
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- 2012/08/03(金) 23:57:00|
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