第1問（理学部）
(1) p、q、rを正の整数とする。次の問いに答えよ。
(ⅰ) p、q、rがすべて奇数であることは、積pqrが奇数であるための
必要十分条件であることを証明せよ。
(ⅱ) 命題「積pqrが偶数ならば、p、q、rがすべて偶数である」の
真偽を調べ、偽である場合には反例をあげよ。
(2) 3つの箱A、B、Cのそれぞれに、1から5までの番号が1つずつ
書かれた5枚のカードが入っている。A、B、Cから1枚ずつカードを
取り出したとき、書かれている番号をそれぞれa、b、cとする。
次の問いに答えよ。
(ⅰ) a+b+c=5となる場合の数を求めよ。
(ⅱ) a+b－c=0となる場合の数を求めよ。
(ⅲ) 積abcが偶数となる場合の数を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
(ⅰ)
「p、q、rがすべて奇数 ⇔ pqrが奇数」の証明
【$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Rightarrow\end{align*}}$ の証明】
ｋ、ｍ、ｎを自然数とし、
p=2ｋ－1、 q=2ｍ－1、 r=2ｎ－1
とおくと、
pqr
=(2ｋ－1)(2ｍ－1)(2ｎ－1)
=8ｋｍｎ－4(ｋｍ+ｍｎ+ｎｋ)+2(ｋ+ｍ+ｎ)－1
=2(4ｋｍｎ－2ｋｍ－2ｍｎ－ｎｋ+ｋ+ｍ+ｎ)－1
となり、( ）内は整数なので、pqrは奇数である。
【$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftarrow\end{align*}}$ の証明】
ｋを自然数とし、p=2ｋとおくと、
pqr=2ｋqr
となり、pqrは偶数となる。
他の文字についても同様に考えることができるので、
p、q、rのうち少なくとも1つが偶数ならば、pqrは偶数である。
この対偶をとると、
pqrが奇数ならば、p、q、rはすべて奇数である。
よって示された。
(ⅱ)
偽
【反例】 p=2、q=1、r=1
(2)
(ⅰ)
a+b+c=5となる場合をすべて書きあげると、
(a，b，c)=(1，1，3)、(1，3，1)、(3，1，1)、
(1，2，2)、(2，1，2)、(2，2，1)
以上、6通り
(ⅱ)
a+b－c=0となる場合をすべて書きあげると、
(a，b，c)=(1，1，2)、
(1，2，3)、(2，1，3)、
(1，3，4)、(2，2，4)、(3，1，4)、
(1，4，5)、(2，3，5)、(3，2，5)、(4，1，5)
以上、10通り
(ⅲ)
カードの出し方の総数は、
53=125通り
あり、このうち積abcが奇数になるのは、
(1)よりq、b、cがすべて奇数のときであるから、
33=27通り．
よって、abcが偶数になるのは、
125－27=98通り．
(1)(ⅰ)が少し面倒ですが、あとは楽ちんでしょ。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2012/07/25(水) 23:54:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .奈良女子大 前期 2008
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第2問（理学部）
Ｏを原点とする座標空間において、2点A、Bを結ぶ線分ABの中点を
Ｍとし、3点C、D、Eを頂点とする三角形CDEの重心をＮとする。
ただし、ＭとＮは異なるとする。線分ＭＮを3：2に内分する点をGとする
とき、次の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OG}=\frac{\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OB}+\overrightarrow{\sf OC}+\overrightarrow{\sf OD}+\overrightarrow{\sf OE}}{5}\end{align*}}$ を示せ。
(2) すべての点Pに対し、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PG}=\frac{\overrightarrow{\sf PA}+\overrightarrow{\sf PB}+\overrightarrow{\sf PC}+\overrightarrow{\sf PD}+\overrightarrow{\sf PE}}{5}\end{align*}}$
が成り立つことを示せ。
(3) rを正の実数とする。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \left|\ \overrightarrow{\sf PA}+\overrightarrow{\sf PB}+\overrightarrow{\sf PC}+\overrightarrow{\sf PD}+\overrightarrow{\sf PE}\ \right|=r\end{align*}}$
をみたす点Pの全体は、どのような図形をつくるか。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
ＭはABの中点、Ｎは△CDEの重心なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OM}=\frac{\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OB}}{2}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf ON}=\frac{\overrightarrow{\sf OC}+\overrightarrow{\sf OD}+\overrightarrow{\sf OE}}{3}\end{align*}}$ ．
GはＭＮを3：2に内分する点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OG}=\frac{2\overrightarrow{\sf OM}+3\overrightarrow{\sf ON}}{5}\overrightarrow{\sf }\overrightarrow{\sf }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2\cdot\frac{\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OB}}{2}+3\cdot\frac{\overrightarrow{\sf OC}+\overrightarrow{\sf OD}+\overrightarrow{\sf OE}}{3}}{5}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OB}+\overrightarrow{\sf OC}+\overrightarrow{\sf OD}+\overrightarrow{\sf OE}}{5}\end{align*}}$
(2)
(1)の等式において、ベクトルの始点をPに変えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PG}-\overrightarrow{\sf PO}=\frac{\left(\overrightarrow{\sf PA}-\overrightarrow{\sf PO}\right)+\left(\overrightarrow{\sf PB}-\overrightarrow{\sf PO}\right)+\left(\overrightarrow{\sf PC}-\overrightarrow{\sf PO}\right)+\left(\overrightarrow{\sf PD}-\overrightarrow{\sf PO}\right)+\left(\overrightarrow{\sf PE}-\overrightarrow{\sf PO}\right)}{5}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\overrightarrow{\sf PA}+\overrightarrow{\sf PB}+\overrightarrow{\sf PC}+\overrightarrow{\sf PD}+\overrightarrow{\sf PE}}{5}-\overrightarrow{\sf PO}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf PG}=\frac{\overrightarrow{\sf PA}+\overrightarrow{\sf PB}+\overrightarrow{\sf PC}+\overrightarrow{\sf PD}+\overrightarrow{\sf PE}}{5}\end{align*}}$
(3)
(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\ \overrightarrow{\sf PA}+\overrightarrow{\sf PB}+\overrightarrow{\sf PC}+\overrightarrow{\sf PD}+\overrightarrow{\sf PE}\ \right|=\left|\ 5\overrightarrow{\sf PG}\ \right|=r\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ |\ \overrightarrow{\sf PG}\ |=\frac{r}{5}\end{align*}}$ ．
これより、
点Pは、Gを中心とする半径 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{r}{5}\end{align*}}$ の円周上を動く。
基本的な問題なので確実に。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2012/07/25(水) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .奈良女子大 前期 2008
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第3問（理学部）
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{\log x}{x^2}\ \ \ (x>0)\end{align*}}$
とする。次の問いに答えよ。
(1) 関数y=ｆ(x)の増減、極値、グラフの凹凸および変曲点を調べて、
そのグラフの概形をかけ。ただし、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\log x}{x^2}=0\end{align*}}$
であることは用いてもよい。
(2) aを正の定数とする。2つの曲線y=ｆ(x)とy=ax2が点Pを共有し、
Pにおけるそれぞれの曲線の接線が一致するとき、Pの座標とaの
値を求めよ。
(3) (2)で求めたaの値に対して、2曲線y=ｆ(x)、y=ax2およびx軸で
囲まれた部分の面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
ｆ(x)の第1次および第2次導関数を求めると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x^2-(\log x)\cdot 2x}{x^4}=\frac{1-2\log x}{x^3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ ''(x)=\frac{\frac{2}{x}\cdot x^3-(1-2\log x)\cdot 3x^2}{x^6}=\frac{6\log x-5}{x^4}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\log x=1\ \ \Leftrightarrow\ \ x=e^{\frac{1}{2}}\end{align*}}$ でｆ'(x)=0
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 6\log x=5\ \ \Leftrightarrow\ \ x=e^{\frac{5}{6}}\end{align*}}$ でｆ"(x)=0
となる。
これより、増減表およびグラフは下のようになる。
極大値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2e}\ \ \ \ \left(x=e^{\frac{1}{2}}\right)\end{align*}}$
変曲点は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(e^{\frac{5}{6}}\ ,\ \frac{6}{6e^{\frac{5}{3}}}\right)\end{align*}}$
(2)
ｇ(x)=ax2とすると、その導関数はｇ’(x)=2axとなる。
点Pのx座標をpとおくと、y=ｆ(x)とy(ｇ)xは点Pで接するので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (p)=g\ (p)\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{\log p}{p^2}=ap^2\ \ \Leftrightarrow\ \ ap^4=\log p\end{align*}}$ ････①
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(p)=g\ '(p)\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1-2\log p}{p^3}=2ap\ \ \Leftrightarrow\ \ ap^4=\frac{1}{2}-\log p\end{align*}}$ ････②
①、②を連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log p=\frac{1}{4}\ \ \Leftrightarrow\ \ p=e^{\frac{1}{4}}\end{align*}}$ ．
このとき①より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\frac{\log p}{p^4}=\frac{\frac{1}{4}}{\left(e^{\frac{1}{4}}\right)^4}=\underline{\ \frac{1}{4e}\ \ }\end{align*}}$
であり、Pのy座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{\log p}{p^2}=\frac{\frac{1}{4}}{\left(e^{\frac{1}{4}}\right)^2}=\frac{1}{4e^{\frac{1}{2}}}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ P\left(e^{\frac{1}{4}}\ ,\ \frac{1}{4e^{\frac{1}{2}}}\right)\ \ }\end{align*}}$
(3)
求める部分の面積Sは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_0^p\ g\ (x)\ dx-\int_1^p\ f\ (x)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^p\ ax^2\ dx-\int_1^p\ \frac{\log x}{x^2}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{1}{3}\ ax^3\right]_0^p-\left[-\frac{\log x}{x}\right]_1^p+\int_1^p\left(-\frac{1}{x}\right)\cdot\frac{1}{x}\ dx\end{align*}}$ ←部分積分
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{a}{3}\ p^3+\frac{\log p}{p}-\frac{\log 1}{1}+\left[\ \frac{1}{x}\ \right]_1^p\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{a}{3}\ p^3+\frac{\log p}{p}+\frac{1}{p}-1\end{align*}}$
これに(2)で得たpおよびaの値を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{12e}\cdot e^{\frac{3}{4}}+\frac{1}{4e^{\frac{1}{4}}}+\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{4}{3e^{\frac{1}{4}}}-1\ \ }\end{align*}}$
丁寧に計算しさえすれば、特に難しい部分もないと思います。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2012/07/26(木) 23:54:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .奈良女子大 前期 2008
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第4問（生活環境学部）
ｎを正の整数とし、
ｆ(x)=2x2－ｎx+4
とする。次の問いに答えよ。
(1) 方程式ｆ(x)=0の2つの解を$\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ とする。
(ⅰ) $\small\sf{\alpha}$ が整数ならば、$\small\sf{\beta}$ は $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{k}{2}\end{align*}}$ (ｋは整数)と表されることを示せ。
(ⅱ)$\small\sf{\alpha}$ が整数で、$\small\sf{\beta}$ が整数でないならば、ｎ=9であることを示せ。
(2) 不等式ｆ(x)≦0をみたす実数xが存在するならば、不等式ｆ(ｍ)≦0
をみたす正の奇数ｍが存在することを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
解と係数の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \alpha+\beta=\frac{n}{2}\end{align*}}$ ････①
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \alpha\ \beta=2\end{align*}}$ ････②
(ⅰ)
①より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \beta=\frac{n}{2}-\alpha=\frac{n-2\alpha}{2}\end{align*}}$
となり、$\scriptsize\sf{\alpha}$ は整数なので、ｎ－2$\scriptsize\sf{\alpha}$ も整数である。
よって、ｋ=ｎ－2$\scriptsize\sf{\alpha}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \beta=\frac{k}{2}\end{align*}}$
となって、題意を満たす。
(ⅱ)
$\scriptsize\sf{\alpha}$ は整数なので、(ⅰ)より$\scriptsize\sf{\beta}$ は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \beta=\frac{k}{2}\end{align*}}$
と表せ、$\scriptsize\sf{\beta}$ が整数でないことより、ｋは奇数である。
ここで、②より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \alpha\ \beta=\frac{\alpha\ k}{2}=2\ \ \Leftrightarrow\ \ \alpha\ k=4\end{align*}}$
となるが、$\scriptsize\sf{\alpha}$ 、ｋともに整数であり、ｋは奇数なので、
$\scriptsize\sf{\alpha}$ =4、 ｋ=1 または $\scriptsize\sf{\alpha}$ =－4、 ｋ=－1
である。
ここで、①、②より、
$\scriptsize\sf{\alpha}$ +$\scriptsize\sf{\beta}$ ＞0 かつ $\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\beta}$ ＞0
なので、$\scriptsize\sf{\alpha}$ ＞0 かつ $\scriptsize\sf{\beta}$ ＞0である。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \alpha=4\ \ ,\ \ k=1\ \ \Leftrightarrow\ \ \beta=\frac{1}{2}\end{align*}}$
であり、①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \alpha+\beta=4+\frac{1}{2}=\frac{n}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ n=9\end{align*}}$
となる。
(2)
不等式ｆ(x)≦0をみたす実数xが存在するので、
ｆ(x)=0の判別式を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D=n^2-32\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ n\leqq -4\sqrt2\ ,\ 4\sqrt2\leqq n\end{align*}}$
となり、ｎは正の整数なので、
ｎ≧6 ････③
(ⅰ)ｎ=6のとき
ｆ(x)=2x2－6x+4≦0 ⇔ 1≦x≦2
となり、ｍ=1とすれば、条件ｆ(ｍ)≦0を満たす。
(ⅱ)ｎ≧7のとき
ｆ(x)=0の2解を$\scriptsize\sf{\alpha}$ 、$\scriptsize\sf{\beta}$ （$\scriptsize\sf{\alpha}$ ≦$\scriptsize\sf{\beta}$ ）とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \beta-\alpha=\sqrt{(\alpha-\beta)^2-4\alpha\beta}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{\left(\frac{n}{2}\right)^2-4\cdot4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\sqrt{n^2-32}}{2}\end{align*}}$
であり、ｎ≧7に対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \beta-\alpha\geqq \frac{\sqrt{7^2-32}}{2}=\frac{\sqrt{17}}{2}>2\end{align*}}$
となるので、$\scriptsize\sf{\alpha}$ ≦x≦$\scriptsize\sf{\beta}$ の範囲に必ず奇数を少なくとも1つ
含むことになる。すなわち、ｆ(ｍ)≦0となる奇数が存在する。
以上より、題意は示された。
(2)別解
ｆ(1)=6－ｎ≦0 （∵③より）
なので、ｍ=1とすれば、条件を満たす。
こっちの方が楽ですな。ｆ(1)に気づくかどうか分かりませんが････
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2012/07/26(木) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .奈良女子大 前期 2008
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第5問（生活環境学部）
(1) 2つの正の実数a、b（a＜b）に対し、次の不等式を示せ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf (i)\ \ \ \sqrt{ab}<\frac{a+b}{2}\lt b\end{align*}}$
$\small\sf{\begin{align*} \sf (ii)\ \ \ a<\frac{2ab}{a+b}<\sqrt{ab}\end{align*}}$
(2) 次の不等式を示せ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf (i)\ \ \ \frac{1221}{116}<\sqrt{111}<\frac{116}{11}\end{align*}}$
$\small\sf{\begin{align*} \sf (ii)\ \ \ \frac{283272}{26887}<\sqrt{111}<\frac{26887}{2552}\end{align*}}$
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
(ⅰ)
a≠bより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}=\frac{a-2\sqrt{ab}+b}{2}=\frac{\left(\sqrt a-\sqrt b\right)^2}{2}>0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sqrt{ab}<\frac{a+b}{2}\end{align*}}$ ････①
a＜bより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b-\frac{a+b}{2}=\frac{2b-(a+b)}{2}=\frac{b-a}{2}>0\end{align*}}$ ．
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{a+b}{2}\lt b\end{align*}}$
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{ab}<\frac{a+b}{2}\lt b\end{align*}}$
(ⅱ)
①の両辺は正なので、逆数をとると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{a+b}<\frac{1}{\sqrt{ab}}\end{align*}}$
であり、両辺にab（＞0）をかけると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2ab}{a+b}<\sqrt{ab}\end{align*}}$ ．
また、a＜bより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2ab}{a+b}-a=\frac{2ab-a(a+b)}{2}=\frac{a(b-a)}{2}>0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a<\frac{2ab}{a+b}\end{align*}}$ ．
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a<\frac{2ab}{a+b}<\sqrt{ab}\end{align*}}$
(2)
(1)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a<\sqrt {ab}\lt b\end{align*}}$ ････②
(ⅰ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\frac{1221}{116}\ \ ,\ \ b=\frac{116}{11}\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf ab=\frac{1221}{116}\cdot\frac{116}{11}=111\end{align*}}$
となるので、②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1221}{116}<\sqrt{111}<\frac{116}{11}\end{align*}}$ ．
(ⅱ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\frac{283272}{26887}\ \ ,\ \ b=\frac{26887}{2552}\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf ab=\frac{283272}{26887}\cdot\frac{26887}{2552}=111\end{align*}}$
となるので、②より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{283272}{26887}<\sqrt{111}<\frac{26887}{2552}\end{align*}}$ ．
(2)で同じ問題が2連発ですが、出題意図がよく分かりませんな。。。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2012/07/27(金) 23:54:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .奈良女子大 前期 2008
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第6問（生活環境学部）
放物線y=x2上に2点A(a，a2)、B(b，b2)をとる。ただし、a、bは
0ではなく、a＜bとする。A、Bにおける放物線の接線をL、ｍとする。
Lとx軸の交点をCとし、ｍとx軸の交点をDとし、Lとｍの交点をEと
する。次の問いに答えよ。
(1) Eの座標を求めよ。
(2) C、D、Eを通る円の方程式を求めよ。
(3) C、D、Eを通る円とy軸の共有点の座標を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
y=x2の導関数は、y=2xなので、
A(a，a2)における接線Lの方程式は、
L：y－a2=2a(x－a) ⇔ y=2ax－a2 ．
同様に計算すると、接線ｍの方程式は、
ｍ：y=2bx－b2
となる。これらの交点Eは、a≠bより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2ax-a^2=2bx-b^2\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{b^2-a^2}{2(b-a)}=\frac{a+b}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=2a\cdot\frac{a+b}{2}-a^2=ab\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ E\left(\frac{a+b}{2}\ ,\ ab\right)\ \ }\end{align*}}$
(2)
Lとx軸との交点Cは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0=2ax-a^2\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{a}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ C\left(\frac{a}{2}\ ,\ 0\right)\end{align*}}$
となり、同様にDの座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D\left(\frac{b}{2}\ ,\ 0\right)\end{align*}}$ ．
3点C、D、Eを通る円の方程式を、
x2+y2+px+qy+r=0
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a^2}{4}+\frac{ap}{2}+r=0\end{align*}}$ ････①
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{b^2}{4}+\frac{bp}{2}+r=0\end{align*}}$ ････②
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{a+b}{2}\right)^2+(ab)^2+\frac{(a+b)p}{2}+abq+r=0\end{align*}}$ ････③
①、②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -r=\frac{a^2}{4}+\frac{ap}{2}=\frac{b^2}{4}+\frac{bp}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ p=-\frac{b^2-a^2}{2(b-a)}=-\frac{a+b}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r=-\frac{a^2}{4}-\frac{a}{2}\left(-\frac{a+b}{2}\right)=\frac{ab}{4}\end{align*}}$ ．
これらを③に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{a+b}{2}\right)^2+(ab)^2-\left(\frac{a+b}{2}\right)^2+abq+\frac{ab}{4}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ abq=-(ab)^2-\frac{ab}{4}\end{align*}}$
a、b≠0なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q=-ab-\frac{1}{4}\end{align*}}$ ．
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ x^2+y^2-\frac{a+b}{2}x-\left(ab+\frac{1}{4}\right)y+\frac{ab}{4}=0\ \ }\end{align*}}$
(3)
(2)で得られた方程式にx=0を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y^2-\left(ab+\frac{1}{4}\right)y+\frac{ab}{4}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(y-ab\right)\left(y-\frac{1}{4}\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y=ab\ \ ,\ \ \frac{1}{4}\end{align*}}$ ．
よって、求める点の座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \left(0\ ,\ ab\right)\ \ ,\ \ \left(0\ ,\ \frac{1}{4}\right)\ \ }\end{align*}}$
(2)は、一見して計算が煩雑っぽいですが、
実際にやってみると、それほどでもないと思いますよ。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2012/07/27(金) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .奈良女子大 前期 2008
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
