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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2008奈良女子大 前期 数学1




第1問(理学部)

 (1) p、q、rを正の整数とする。次の問いに答えよ。
   (ⅰ) p、q、rがすべて奇数であることは、積pqrが奇数であるための
      必要十分条件であることを証明せよ。

   (ⅱ) 命題「積pqrが偶数ならば、p、q、rがすべて偶数である」の
      真偽を調べ、偽である場合には反例をあげよ。

 (2) 3つの箱A、B、Cのそれぞれに、1から5までの番号が1つずつ
    書かれた5枚のカードが入っている。A、B、Cから1枚ずつカードを
    取り出したとき、書かれている番号をそれぞれa、b、cとする。
    次の問いに答えよ。
   (ⅰ) a+b+c=5となる場合の数を求めよ。

   (ⅱ) a+b-c=0となる場合の数を求めよ。

   (ⅲ) 積abcが偶数となる場合の数を求めよ。





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  1. 2012/07/25(水) 23:54:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .奈良女子大 前期 2008
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2008奈良女子大 前期 数学2




第2問(理学部)

  Oを原点とする座標空間において、2点A、Bを結ぶ線分ABの中点を
  Mとし、3点C、D、Eを頂点とする三角形CDEの重心をNとする。
  ただし、MとNは異なるとする。線分MNを3:2に内分する点をGとする
  とき、次の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OG}=\frac{\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OB}+\overrightarrow{\sf OC}+\overrightarrow{\sf OD}+\overrightarrow{\sf OE}}{5}\end{align*}}$ を示せ。

 (2) すべての点Pに対し、
            $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PG}=\frac{\overrightarrow{\sf PA}+\overrightarrow{\sf PB}+\overrightarrow{\sf PC}+\overrightarrow{\sf PD}+\overrightarrow{\sf PE}}{5}\end{align*}}$
    が成り立つことを示せ。

 (3) rを正の実数とする。
            $\small\sf{\begin{align*} \sf \left|\ \overrightarrow{\sf PA}+\overrightarrow{\sf PB}+\overrightarrow{\sf PC}+\overrightarrow{\sf PD}+\overrightarrow{\sf PE}\ \right|=r\end{align*}}$
    をみたす点Pの全体は、どのような図形をつくるか。


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  1. 2012/07/25(水) 23:57:00|
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2008奈良女子大 前期 数学3



第3問(理学部)

         $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{\log x}{x^2}\ \ \ (x>0)\end{align*}}$
  とする。次の問いに答えよ。

 (1) 関数y=f(x)の増減、極値、グラフの凹凸および変曲点を調べて、
    そのグラフの概形をかけ。ただし、
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\log x}{x^2}=0\end{align*}}$
    であることは用いてもよい。

 (2) aを正の定数とする。2つの曲線y=f(x)とy=ax2が点Pを共有し、
    Pにおけるそれぞれの曲線の接線が一致するとき、Pの座標とaの
    値を求めよ。

 (3) (2)で求めたaの値に対して、2曲線y=f(x)、y=ax2およびx軸で
    囲まれた部分の面積を求めよ。




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  1. 2012/07/26(木) 23:54:00|
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2008奈良女子大 前期 数学4



第4問(生活環境学部)

  nを正の整数とし、
        f(x)=2x2-nx+4
  とする。次の問いに答えよ。

 (1) 方程式f(x)=0の2つの解を$\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ とする。
   (ⅰ) $\small\sf{\alpha}$ が整数ならば、$\small\sf{\beta}$ は $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{k}{2}\end{align*}}$ (kは整数)と表されることを示せ。

   (ⅱ)$\small\sf{\alpha}$ が整数で、$\small\sf{\beta}$ が整数でないならば、n=9であることを示せ。

 (2) 不等式f(x)≦0をみたす実数xが存在するならば、不等式f(m)≦0
    をみたす正の奇数mが存在することを示せ。




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  1. 2012/07/26(木) 23:57:00|
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2008奈良女子大 前期 数学5



第5問(生活環境学部)

 (1) 2つの正の実数a、b(a<b)に対し、次の不等式を示せ。
   $\small\sf{\begin{align*} \sf (i)\ \ \ \sqrt{ab}<\frac{a+b}{2}\lt b\end{align*}}$
   $\small\sf{\begin{align*} \sf (ii)\ \ \ a<\frac{2ab}{a+b}<\sqrt{ab}\end{align*}}$

 (2) 次の不等式を示せ。
   $\small\sf{\begin{align*} \sf (i)\ \ \ \frac{1221}{116}<\sqrt{111}<\frac{116}{11}\end{align*}}$
   $\small\sf{\begin{align*} \sf (ii)\ \ \ \frac{283272}{26887}<\sqrt{111}<\frac{26887}{2552}\end{align*}}$






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  1. 2012/07/27(金) 23:54:00|
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2008奈良女子大 前期 数学6



第6問(生活環境学部)

  放物線y=x2上に2点A(a,a2)、B(b,b2)をとる。ただし、a、bは
  0ではなく、a<bとする。A、Bにおける放物線の接線をL、mとする。
  Lとx軸の交点をCとし、mとx軸の交点をDとし、Lとmの交点をEと
  する。次の問いに答えよ。

 (1) Eの座標を求めよ。

 (2) C、D、Eを通る円の方程式を求めよ。

 (3) C、D、Eを通る円とy軸の共有点の座標を求めよ。





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