第1問（理学部）
(1) 2次正方行列Aが
$\small\sf{\begin{align*} \sf A\ \binom{1}{0}=\binom{1}{0}\end{align*}}$ かつ $\small\sf{\begin{align*} \sf A\ \binom{2}{1}=\binom{1}{0}\end{align*}}$
をみたすとき、Aを求めよ。
(2) p、qは定数で、qは0でないとする。2次正方行列Aが
$\small\sf{\begin{align*} \sf A\ \binom{1}{0}=\binom{1}{0}\end{align*}}$ かつ $\small\sf{\begin{align*} \sf A\ \binom{p}{q}=\binom{1}{0}\end{align*}}$
をみたすとき、A2=Aであることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
与えられた条件より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A\ \begin{pmatrix}\sf 1&\sf 2\\ \sf 0 &\sf 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf 1&\sf 1\\ \sf 0&\sf 0\end{pmatrix}\end{align*}}$ ････①
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B=\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf 2\\ \sf 0 &\sf 1\end{pmatrix}\end{align*}}$
とおくと、デターミナントは
1－0=1≠0
なので、逆行列B-1が存在する。
①の両辺に右からB-1をかけると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf 1\\ \sf 0 &\sf 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf 2\\ \sf 0 &\sf 1\end{pmatrix}^{-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf 1\\ \sf 0 &\sf 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sf 1&\sf -2\\ \sf 0 &\sf 1\end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \begin{pmatrix}\sf 1 &\sf -1\\ \sf 0 &\sf 0\end{pmatrix}\ \ }\end{align*}}$
(2)
与えられた条件より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A\ \begin{pmatrix}\sf 1 &\sf p\\ \sf 0 &\sf q\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf 1\\ \sf 0 &\sf 0\end{pmatrix}\end{align*}}$ ････②
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf C=\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf p\\ \sf 0 &\sf q\end{pmatrix}\end{align*}}$
とおくと、デターミナントは
q－0=q≠0
なので、逆行列C-1が存在する。
②の両辺に右からC-1をかけると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 1 \\ \sf 0 & \sf 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf p \\ \sf 0 & \sf q \end{pmatrix}^{-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 1 \\ \sf 0 & \sf 0 \end{pmatrix}\times\frac{1}{q}\begin{pmatrix} \sf q&\sf -p \\ \sf 0 & \sf 1 \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\begin{pmatrix} \sf 1&\sf \frac{1-p}{q} \\ \sf 0 & \sf 0 \end{pmatrix}\end{align*}}$ ．
ハミルトン・ケーリーの定理より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A^2-(1+0)A+\left(1\cdot 0-\frac{1-p}{q}\cdot0\right)E=O\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ A^2=A\end{align*}}$
これもまぁ基本的な問題ですね。
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- 2012/07/22(日) 23:54:00|
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第2問（理学部）
直線y=2xを L1とし、直線y=－xを L2とする。ｋを定数とし、
直線y=ｋx+1を Lとする。このとき次の問いに答えよ。
(1) 直線 Lと2直線 L1、L2との交点のy座標が、ともに正になる
ようなｋの値の範囲を求めよ。
(2) ｋの値が(1)で求めた範囲にあるとき、3直線 L1、L2、Lで
囲まれた部分の面積Sを求めよ。
(3) (1)で求めたｋの値の範囲で、Sを最小にするｋの値とSの
最小値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
Lが L1、L2およびy軸と交わる点をそれぞれA、B、Cとする。
Lは L1と平行でないので、ｋ≠2である。
よって、Aの座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2x=kx+1\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{1}{2-k}\end{align*}}$ より $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A\ \left(\frac{1}{2-k}\ ,\ \frac{2}{2-k}\right)\end{align*}}$ ．
同様に、Lは L2とも平行でないので、ｋ≠－1である。
よって、B座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -x=kx+1\ \ \Leftrightarrow\ \ x=-\frac{1}{1+k}\end{align*}}$ より $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B\ \left(-\frac{1}{1+k}\ ,\ \frac{1}{1+k}\right)\end{align*}}$ ．
A、Bのy座標がともに正なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{2-k}>0\end{align*}}$ かつ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{1+k}>0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ -1
(2)
△OAB=△OAC+△OBC なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=1\cdot\left(\frac{1}{2-k}+\frac{1}{1+k}\right)\cdot\frac{1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\cdot\frac{1+k+2-k}{(2-k)(1+k)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{3}{2(2-k)(1+k)}\ \ }\end{align*}}$
(3)
(2)で求めたSの分母は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2(2-k)(1+k)=-2k^2+2k+4\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-2\left(k-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{9}{2}\end{align*}}$
と変形できるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=\frac{1}{2}\end{align*}}$
のとき、分母は最大となり、このときSは最小。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ S_{min}=\frac{2}{3}\ \ \ \left(k=\frac{1}{2}\right)\ \ }\end{align*}}$
理系の問題ですので、(3)は微分しちゃってもＯＫです。
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- 2012/07/22(日) 23:57:00|
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第3問（理学部）
100枚のカードに、1から100までの番号がつけられている。
これらのカードをすべて袋に入れる。この袋からカードを1枚
取り出し、そのカードの番号をXとする。取り出したカードを袋
に戻し、再び袋からカードを1枚取り出し、そのカードの番号を
Yとする。このとき次の問いに答えよ。
(1) X+Yが偶数となる確率を求めよ。
(2) X+Y≦5となる確率を求めよ。
(3) X+Y≦ｎとなる確率が $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}\end{align*}}$ であるような自然数ｎは存在しない
ことを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
1～100には偶数、奇数ともに50個ずつあるので、
カードの数が偶数および奇数である確率は、
ともに $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ である。
X+Yが偶数になるためには、
(X，Y)=(偶数，偶数)、(奇数，奇数)
の2つの場合があるので、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\underline{\ \frac{1}{2}\ \ }\end{align*}}$
(2)
X+Y=1となる(X，Y)の組はありえない。
X+Y=2 ････ (1，1) の1通り
X+Y=3 ････ (1，2)、(2，1) の2通り
X+Y=4 ････ (1，3)、(2，2)、(3，1) の3通り
X+Y=5 ････ (1，4)、(2，3)、(3，2)、(4，1) の4通り
よって、
X+Y≦5となる場合は
1+2+3+4=10通り
なので、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{10}{100^2}=\underline{\ \frac{1}{1000}\ \ }\end{align*}}$
(3)
(2)と同様に考えると、
X+Y=ｋ（2≦ｋ≦ｎ）となる(X，Y)の組は、
(1，ｋ－1)、(2，ｋ－2)、････、(ｋ－2，2)、(ｋ－1，1)
のｋ－1通りあるので、
X+Y≦ｎとなる場合は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1+2+\ldots+(n-1)+n=\frac{1}{2}\ n(n-1)\end{align*}}$ 通り．
ここで、
X+Y≦ｎとなる確率が $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}\end{align*}}$ となるとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\frac{1}{2}\ n(n-1)}{100^2}=\frac{1}{4}\ \ \Leftrightarrow\ \ n^2-n-5000=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ n=\frac{1\pm\sqrt{20001}}{2}\end{align*}}$
となり、ｎは自然数とはならない。
よって、題意は示された。
(3)が少し書きにくいでしょうか？
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- 2012/07/23(月) 23:54:00|
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第4問（生活環境学部）
(1) 47を27で割ったときの余りを求めよ。
(2) 431を27で割ったときの余りを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
43=64=27･2+10 ････① なので、
47=4(43)2
=4(27･2+10)2
=4(272･4+27･40+100)
=27(27･16+160)+400
ここで、
400=27･14+22
より、
47=27(27･16+160+14)+22
となるので、
47を27で割ると、22余る。
(2)
22=27－5 と(1)より、
47=27(27･16+160+14)+22
=27(27･16+160+15)－5
となり、( )内をｎとおくと、
47=27n－5 ････②
と表すことができる。
よって、①、②を用いて、
431=43･(47)4
=(27･2+10)(27n－5)4 ････③
となる。
ここで、二項定理を用いて展開すると、
(27n－5)4
={(27n)4－4C1･5･(27n)3+4C2･52･(27n)2
－4C3･53･27n}+54
となり、{ }内は27を因数にもつので、整数mを用いて、
(27n－5)4=27m+625
と表せる。これを③に代入すると、
431=(27･2+10)(27m+625)
=(272･2m+27･1250+27･10m)+6250
となり、{ }内は27を因数にもつので、整数Mを用いて、
431=27M+625
=27M+27･231+13
=27(M+231)+13
と変形できるので、
431を27で割ると、13余る。
合同式を知っている人は、こんな感じで楽ちんできますよ。
以下、mod27とする。
(1)
43≡64≡10 なので、
47≡4･(43)2≡4･102≡400≡22
(2)
47≡22≡-5 なので、
431≡43･(47)4≡10･(-5)4≡6250≡13
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第5問（生活環境学部）
立方体の頂点の1つをAとし、Aを含む3つの面を正方形ABEC、
正方形ACFD、正方形ADGBとする。このとき次の問いに答えよ。
(1) 辺BE、ECの中点をそれぞれP、Qとし、辺CF、FDの中点を
それぞれR、Sとする。このとき、PQを2：1に外分する点とRS
を1：2に外分する点が一致することを示せ。
(2) さらにDG、GBの中点をそれぞれT、Ｕとすると、6個の点P、Q、
R、S、T、Ｕは同じ平面上にあることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
四角形ABEC、ACFD、ADGBはすべて正方形なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AE}=\overrightarrow{\sf AB}+\overrightarrow{\sf AC}\ \ ,\overrightarrow{\sf AF}=\overrightarrow{\sf AC}+\overrightarrow{\sf AD}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf AG}=\overrightarrow{\sf AD}+\overrightarrow{\sf AB}\end{align*}}$ ．
P、Q、R、Sはそれぞれ辺BE、EC、CF、FDの中点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AP}=\overrightarrow{\sf AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf AC}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf AQ}=\overrightarrow{\sf AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf AB}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AR}=\overrightarrow{\sf AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf AD}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf AS}=\overrightarrow{\sf AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$ ．
PQを2：1に外分する点をV1とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AV_1}=-\overrightarrow{\sf AP}+2\overrightarrow{\sf AQ}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\left(\overrightarrow{\sf AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf AC}\right)+2\left(\overrightarrow{\sf AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf AB}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3}{2}\overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$ ．
また、RSを1：2に外分する点をV2とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AV_2}=2\overrightarrow{\sf AR}-\overrightarrow{\sf AS}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\left(\overrightarrow{\sf AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf AD}\right)-\left(\overrightarrow{\sf AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf AC}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3}{2}\overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AV_1}=\overrightarrow{\sf AV_2}\end{align*}}$
となるので、2点V1、V2は一致する。
(2)
(1)より、PQとRSは点V1交わるので、
この2直線は同一平面上にある。
すなわち、4点P、Q、R、Sは同一平面上にある。
PQを1：2に外分する点をW1とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AW_1}=2\overrightarrow{\sf AP}-\overrightarrow{\sf AQ}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\left(\overrightarrow{\sf AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf AC}\right)-\left(\overrightarrow{\sf AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf AB}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3}{2}\overrightarrow{\sf AB}\end{align*}}$ ．
一方、T、Ｕはそれぞれ辺DG、GBの中点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AT}=\overrightarrow{\sf AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf AB}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf AU}=\overrightarrow{\sf AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf AD}\end{align*}}$
であり、TＵを2：1に外分する点をW2とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AW_2}=-\overrightarrow{\sf AT}+2\overrightarrow{\sf AU}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\left(\overrightarrow{\sf AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf AB}\right)+2\left(\overrightarrow{\sf AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf AD}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3}{2}\overrightarrow{\sf AB}\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AW_1}=\overrightarrow{\sf AW_2}\end{align*}}$
となるので、2点W1、W2は一致する。
よって、PQとTＵは点W1交わるので、
この2直線は同一平面上にある。
すなわち、4点P、Q、T、Ｕは同一平面上にある。
以上より、6点P、Q、R、S、T、Ｕは同一平面上にある。
「交わる2直線は同一平面上にある」というのは中1で習いますが･････
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- 2012/07/24(火) 23:54:00|
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第6問（生活環境学部）
関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{3^x+3^{-x}}{2}\end{align*}}$
について、次の問いに答えよ。
(1) つねにｆ(x)≧1が成り立つことを示せ。
(2) 1以上の定数ｋに対し、方程式ｆ(x)=ｋを解け。
(3) 正の定数aに対し、方程式ｆ(x)=2{ｆ(a)}2－1の正の解を
求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
3x＞0かつ3-x＞0 なので、相加・相乗平均の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{3^x+3^{-x}}{2}\geqq \sqrt{3^x\cdot3^{-x}}=1\end{align*}}$ ．
よって、題意は示された。
（等号成立は、3x=3-x すなわち x=0 のとき）
(2)
両辺に3xをかけて分母を払うと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{3^x+3^{-x}}{2}=k\ \ \Leftrightarrow\ \ (3^x)^2-2k\cdot3^x+1=0\end{align*}}$ ．
これを3xについての二次方程式とみなして解くと、、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3^x=k\pm\sqrt{k^2-1}\ \ (>0)\end{align*}}$ ．
両辺＞0より、底3の対数をとると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ x=\log_3\left(k\pm\sqrt{k^2-1}\right)\ \ }\end{align*}}$
(3)
与式の右辺は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\{f\ (a)\}^2-1=2\left(\frac{3^a+3^{-a}}{2}\right)^2-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3^{2a}+3^{-2a}+2}{2}-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3^{2a}+3^{-2a}}{2}\end{align*}}$ ･･･①
と変形できるので、
(1)と同様に相加・相乗平均の関係を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\{f\ (a)\}^2-1\geqq 1\end{align*}}$
となる。
よって、(2)の結論に
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=2\{f\ (a)\}^2-1=\frac{3^{2a}+3^{-2a}}{2}\end{align*}}$
を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\log_3\left(\frac{3^{2a}+3^{-2a}}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{3^{2a}+3^{-2a}}{2}\right)^2-1}\ \right)\end{align*}}$ ．
ここで、ルートの中は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{3^{2a}+3^{-2a}}{2}\right)^2-1=\frac{3^{4a}+3^{-4a}+2}{4}-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3^{4a}+3^{-4a}-2}{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\frac{3^{2a}-3^{-2a}}{2}\right)^2\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\log_3\left(\frac{3^{2a}+3^{-2a}}{2}\pm\frac{3^{2a}-3^{-2a}}{2}\ \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\log_3\ 3^{2a}\ \ ,\ \ \log_3\ 3^{-2a}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2a\ \ ,\ \ -2a\end{align*}}$ ．
x＞0、a＞0より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ x=2a\ \ }\end{align*}}$
毎年の事ながら、理系(理学部)よりも文系(生活環境学部)の問題の方が
ずっと難しいですよね(笑)
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- 2012/07/24(火) 23:57:00|
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