第1問（理学部）
2次関数y=x2のグラフをCとし、2次関数y=－x2のグラフをD
とする。以下の問いに答えよ。
(1) Dをx軸方向に3、y軸方向に5だけ平行移動したグラフをEとする。
CとEの交点を求めよ。
(2) Dをx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動したグラフをFとする。
CとFがただ一つの共有点をもつとき、共有点の座標をpを用いて
表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
Eの方程式は
y－5=－(x－3)2 ⇔ y=－x2+6x－4
これとC：y=x2を連立させて、
－x2+6x－4=x2
⇔ x2－3x+2=0
⇔ x=1，2
それぞれに対応するyの値は、y=1およびy=4となるので、
CとEの交点の座標は
(1，1)、(2，4)
(2)
Fの方程式は
y－q=－(x－p)2 ⇔ y=－x2+2px－p2+q
これとC：y=x2を連立させて、
－x2+2px+q=x2
⇔ 2x2－2px+p2－q=0 ･････①
CとFが接するので、①の判別式を考えると、
D/4=p2－2(p2－q)=0
となり、これをqについて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q=\frac{p^2}{2}\end{align*}}$ ．
このとき①は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2x^2-2px+\frac{p^2}{2}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ (2x-p)^2=0\end{align*}}$
となり、これを解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{p}{2}\end{align*}}$ ．
よって、CとFの交点の座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \left(\frac{p}{2}\ ,\ \frac{p^2}{4}\right)\ \ }\end{align*}}$
これは問題ないでしょ。
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第2問（理学部）
袋の中に白球がｍ個、黒球がｎ個入っている。ただし、ｍ、ｎはともに
正の整数とする。この袋から1個取り出し、その色を確かめてから袋に
戻す。この試行をもう一度くり返す。以下の問いに答えよ。
(1) 白球が2回取り出される確率をｍとｎの式で表せ。
(2) 異なる色の球が取り出される確率をPとする。Pをｍとｎの式で表せ。
(3) (2)のPについて、$\small\sf{\begin{align*} \sf P\leqq\frac{1}{2}\end{align*}}$ であることを示せ。
(4) (2)のPに対して、$\small\sf{\begin{align*} \sf P=\frac{24}{49}\end{align*}}$ となるとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{n}{m}\end{align*}}$ の値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
1回の試行において、白球および黒球を取り出す確率はそれぞれ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{m}{m+n}\ \ ,\ \ \frac{n}{m+n}\end{align*}}$
なので、2回とも白玉を取り出す確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \left(\frac{m}{m+n}\right)^2\ \ }\end{align*}}$
(2)
Pは、白→黒 または 黒→白 の順に取り出す確率なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P=2\times\frac{m}{m+n}\cdot\frac{n}{m+n}=\underline{\ \frac{2mn}{(m+n)^2}\ \ }\end{align*}}$
(3)
ｍ、ｎ＞0なので、相加・相乗平均の関係を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m+n\geqq 2\sqrt{mn}\end{align*}}$ ．
両辺＞0なので、両辺を2乗する
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (m+n)^2\geqq 4mn\end{align*}}$ ．
これを(2)で求めたPに代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P=\frac{2mn}{(m+n)^2}\leqq \frac{2mn}{4mn}=\frac{1}{2}\end{align*}}$
となるので、題意は示された。（等号成立は、ｍ=ｎのとき）
(4)
(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P=\frac{2mn}{(m+n)^2}=\frac{24}{49}\end{align*}}$ ．
分母を払って整理すると、
12ｍ2－25ｍｎ+12ｎ2=(4ｍ－3ｎ)(3ｍ－4ｎ)=0
すなわち、
4ｍ=3ｎ または 3ｍ=4ｎ
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{n}{m}=\frac{3}{4}\ ,\ \frac{4}{3}\ \ }\end{align*}}$
これもまぁ 問題ないでしょ。
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第3問（理学部）
曲線y=2xsinxcosxをC1とし、曲線y=xcosxをC2とする。
以下の問いに答えよ。
(1) 0≦x≦$\small\sf{\pi}$ /4 において、C1とC2の交点のx座標をすべて求めよ。
(2) (1)で求めたx座標の中で最大の値をaとする。区間[0，a]に
おいて、C1とC2で囲まれた部分の面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
2式を連立させると、
2xsinxcosx=xcosx
⇔ xcosx(2sinx－1)=0
⇔ x=0 または cosx=0 または 2sinx=1 ．
0≦x≦$\scriptsize\sf{\pi}$ /4の範囲でこれを満たすのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ x=0\ ,\ \frac{\pi}{6}\ \ }\end{align*}}$
(2)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\frac{\pi}{6}\end{align*}}$ ････①
0≦x≦aの範囲では、
xcosx≧0 かつ 2sinx≦1
なので、
2xsinxcosx ≦ xcosx．
よって、C1とC2で囲まれた部分の面積をSとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_0^a\ (x\cos x-2x\sin x\cos x)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^a\ x(\cos x-\sin 2x)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[x\left(\sin x+\frac{1}{2}\cos 2x\right)\right]_0^a-\int_0^a\ \left(\sin x+\frac{1}{2}\cos 2x\right)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[x\left(\sin x+\frac{1}{2}\cos 2x\right)\right]_0^a-\left[-\cos x+\frac{1}{4}\sin 2x\right]_0^a\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(a\sin a+\frac{1}{2}a\cos 2a\right)-\left(-\cos a+\frac{1}{4}\sin 2a\right)+\left(-\cos 0\right)\end{align*}}$
これに①を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{\pi}{6}\sin \frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{12}\cos\frac{\pi}{3}+\cos \frac{\pi}{6}-\frac{1}{4}\sin\frac{\pi}{3}-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{\pi}{8}+\frac{3\sqrt3}{8}-1\ }\end{align*}}$
(2)の計算は慎重に！
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第4問（生活環境学部）
三角形ＯABにおいて、辺ＯAを1：2に内分する点をＭ、辺ＯBを3：2
に内分する点をＮとする。さらに、線分AＮと線分BＭの交点をXとする
とき、以下の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OX}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ を用いて表せ。
(2）直線ＯXと辺ABの交点をYとするとき、AY：YBを求めよ。
(3) 三角形ＯABの面積をSとし、(2)のYに対して三角形ＭＮYの面積
をTとする。S：Tを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
メネラウスの定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{MA}{OM}\cdot\frac{XN}{AX}\cdot\frac{BO}{NB}=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{2}{1}\cdot\frac{XN}{AX}\cdot\frac{5}{2}=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{XN}{AX}=\frac{1}{5}\end{align*}}$
となるので、
XはAＮを5：1に内分する点である。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OX}=\frac{1}{6}\overrightarrow{\sf OA}+\frac{5}{6}\overrightarrow{\sf ON}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}\overrightarrow{\sf OA}+\frac{5}{6}\cdot\frac{3}{5}\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{6}\overrightarrow{\sf OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\sf OB}\ \ }\end{align*}}$
(2)
チェバの定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{MA}{OM}\cdot\frac{YB}{AY}\cdot\frac{NO}{BN}=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{2}{1}\cdot\frac{YB}{AY}\cdot\frac{3}{2}=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{YB}{AY}=\frac{1}{3}\end{align*}}$
となるので、
AY：YB=3：1
(3)
∠AＯB=$\scriptsize\sf{\theta}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\triangle OAB=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot OB\cdot\sin\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle OMN=\frac{1}{2}\cdot OM\cdot ON\cdot\sin\theta\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\triangle OMN}{\triangle OAB}=\frac{OM\cdot ON}{OA\cdot OB}=\frac{1\cdot 3}{3\cdot 5}\ \ \Leftrightarrow\ \ \triangle OMN=\frac{1}{5}\ S\end{align*}}$ ．
同様にすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\triangle OMY}{\triangle OAB}=\frac{AM\cdot AY}{AO\cdot AB}=\frac{2\cdot 3}{3\cdot 4}\ \ \Leftrightarrow\ \ \triangle OMY=\frac{1}{2}\ S\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\triangle ONY}{\triangle OAB}=\frac{BN\cdot BY}{BO\cdot BA}=\frac{2\cdot 1}{5\cdot 4}\ \ \Leftrightarrow\ \ \triangle ONY=\frac{1}{10}\ S\end{align*}}$ ．
よって、
△MNY=△OAB－△OMN－△OMY－△ONY
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T=S-\frac{1}{5}\ S-\frac{1}{2}\ S-\frac{1}{10}\ S=\frac{1}{5}\ S\end{align*}}$
⇔ S：T=5：1
面倒なので、メネラウスとチェバで誤魔化しました＾＾；；
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- 2012/07/20(金) 23:57:00|
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第5問（生活環境学部）
ｋを実数とする。ｆ(x)=(x－ｋ)2+ｋ2－ｋ－1について、
以下の問いに答えよ。
(1) ｋの値によらず、ｆ(3)＞0となる事を示せ。
(2) 2次方程式ｆ(x)=0が実数解をもつようなｋの値の範囲を求めよ。
(2) ｆ(ｎ)＜0をみたす正の整数ｎがただ一つ存在するようなｋの値の
範囲を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
与式を整理すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=x^2-2kx+2k^2-k-1\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (3)=2k^2-7k+8\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\left(k-\frac{7}{4}\right)^2+\frac{15}{8}\end{align*}}$
より、ｋの値によらずｆ(3)＞0となる。
(2)
xについての方程式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=x^2-2kx+2k^2-k-1=0\end{align*}}$ ････①
の判別式D1を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D_1/4=k^2-(2k^2-k-1)\geqq 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ k^2-k-1\leqq 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ \frac{1-\sqrt{5}}{2}\leqq k\leqq \frac{1+\sqrt{5}}{2}\ \ }\end{align*}}$
(3)
①をｋについての式とみなすと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2k^2-(2x+1)k+x^2-1=0\end{align*}}$ ････①’
となり、ｋは実数なので、①’の判別式D2を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D_2=(2x+1)^2-8(x^2-1)\geqq 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4x^2-4x-9\leqq 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1-\sqrt{10}}{2} \leqq x\leqq \frac{1+\sqrt{10}}{2}\end{align*}}$
これは、方程式①の解xのとり得る値の範囲なので、
ｆ(ｎ)＜0を満たす自然数ｎの範囲は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1-\sqrt{10}}{2} \lt n< \frac{1+\sqrt{10}}{2}\end{align*}}$ .
これを満たす自然数ｎは、
ｎ=1 または ｎ=2
(ⅰ) ｎ=1のみが ｆ(ｎ)＜0を満たす場合
ｆ(1)＜0 かつ ｆ(2)≧0
であればよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (1)=2k^2-3k<0\ \ \Leftrightarrow\ \ 0\lt k<\frac{3}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (2)=2k^2-5k+3\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ k\leqq 1\ ,\ \frac{3}{2}\leqq k\end{align*}}$
これらを同時に満たすｋの値の範囲は、
0＜ｋ≦1
(ⅱ) ｎ=2のみが ｆ(ｎ)＜0を満たす場合
ｆ(1)≧0 かつ ｆ(2)＜0 かつ ｆ(3)≧0
であればよい。
(1)より、ｆ(3)＞0は常に満たすので、
ｆ(1)、ｆ(2)について
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (1)\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ k\leqq 0\ ,\ \frac{3}{2}\leqq k\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (2)=2k^2-5k+3< 0\ \ \Leftrightarrow\ \ 1\lt k<\frac{3}{2}\end{align*}}$ ．
を満たせばよいが、これらを同時に満たすｋは存在しない。
よって、(ⅰ)、(ⅱ)より、求めるｋの値の範囲は、
0＜ｋ≦1
(3)が少しやっかいかもしれないです。
というか、理学部のどの問題よりも難しい(笑)
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- 2012/07/21(土) 23:54:00|
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第6問（生活環境学部）
原点を中心とする半径2の円をCとする。aを実数とし、点(a，4)から
円Cへ2本の接線を引き、その接点をP1、P2とする。P1、P2を通る
直線がaの値にかかわらず定点を通ることを示せ。また、その定点の
座標を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
A(a，4) 、 P1(x1，y1) 、 P2(x2，y2) とし、
2接点P1およびP2におけるCの接線をそれぞれL1、L2とする。
円Cの方程式は
C：x2+y2=4
なので、L1、L2の方程式は、
L1：x1x+y1y=4
L2：x2x+y2y=4
と表せる。
これらが点Aを通るので、
ax1+4y1=4 ････①
ax2+4y2=4 ････②
①、②は、2点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)が
直線ax+4y=4上にあることを表している。
すなわち、直線P1P2の方程式は、
ax+4y=4 ････③
となる。
③をaについての恒等式とみなすと、
xa+4y－4=0
となり、係数を比較すると、
x=0 かつ 4y－4=0 ⇔ y=1
よって、③はaの値にかかわらず定点(0，1)を通ることになる。
直線P1P2の方程式を求める問題は有名ですね。
接点P1、P2の座標をまともに求めようとすると死にます(笑)
③を導く考え方がちょっと難しいかもしれません。
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- 2012/07/21(土) 23:57:00|
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