第1問（理学部）
三角形ABCにおいて、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BC}=\overrightarrow{\sf a}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf CA}=\overrightarrow{\sf b}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf AB}=\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
とおく。$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ は、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}=-4\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}=-3\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=-5\end{align*}}$
をみたしている。以下の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ を用いて表せ。
(2) 三角形ABCの辺BC、CAの長さを求めよ。
(3) 三角形ABCの面積Sを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BC}+\overrightarrow{\sf CA}+\overrightarrow{\sf AB}=\overrightarrow{\sf 0}\ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf b}+\overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf 0}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \overrightarrow{\sf c}=-\overrightarrow{\sf a}-\overrightarrow{\sf b}\ \ }\end{align*}}$
(2)
(1)を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf b}\cdot\left(-\overrightarrow{\sf a}-\overrightarrow{\sf b}\right)=-\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}-|\ \overrightarrow{\sf b}\ |^2=-3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}=\left(-\overrightarrow{\sf a}-\overrightarrow{\sf b}\right)\cdot\overrightarrow{\sf a}=-|\ \overrightarrow{\sf a}\ |^2-\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=-4\end{align*}}$
これに
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=-5\end{align*}}$
を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\ \overrightarrow{\sf b}\ |^2=8\ \ ,\ \ |\ \overrightarrow{\sf a}\ |^2=9\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ BC=|\ \overrightarrow{\sf a}\ |=3\ \ ,\ \ CA=|\ \overrightarrow{\sf b}\ |=2\sqrt2\ \ }\end{align*}}$
(3)
△ABCの面積Sは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}\sqrt{|\ \overrightarrow{\sf CB}\ |^2|\ \overrightarrow{\sf CA}\ |^2-\left(\ \overrightarrow{\sf CB}\cdot\overrightarrow{\sf CA}\ \right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\sqrt{|\ \overrightarrow{\sf -a}\ |^2|\ \overrightarrow{\sf b}\ |^2-\left(\ \overrightarrow{\sf -a}\cdot\overrightarrow{\sf b}\ \right)^2}\end{align*}}$
で求めることができるので、(2)の値を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}\sqrt{3^2\cdot(2\sqrt2)^2-(+5)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{\sqrt{47}}{2}\ \ }\end{align*}}$
(3)の公式は覚えていますか？？
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- 2012/07/16(月) 23:54:00|
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第2問（理学部）
さいころをｎ回投げたとき1の目が出る回数が奇数である確率をpnとおく。
以下の問いに答えよ。
(1) p1、p2、p3を求めよ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf p_{n+1}=\frac{2}{3}\ p_n+\frac{1}{6}\end{align*}}$ が成り立つことを示せ。
(3) pnを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
①p1について
サイコロを1回投げて1の目が出ればよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ p_1=\frac{1}{6}\ \ }\end{align*}}$
②p2について
2回投げたうち、1の目が1回、1以外の目が1回出ればよいので、
順序も考慮に入れて、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_2=\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot_2C_1=\underline{\ \frac{5}{18}\ \ }\end{align*}}$
③p3について
次の2つのパターンが考えられる。
・3回投げて1の目が1回、1以外の目2回が出る
・3回投げて、3回とも1の目が出る
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_3=\frac{1}{6}\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^2\cdot_3C_1+\left(\frac{1}{6}\right)^3=\underline{\ \frac{19}{54}\ \ }\end{align*}}$
(2)
ｎ+1回投げて1の目が奇数回出るには、次の2つのパターンがある。
・ｎ回投げた段階で1の目が偶数回出て、ｎ+1回目に1の目が出る
・ｎ回投げた段階で1の目が奇数回出て、ｎ+1回目に1以外の目が出る
ｎ回投げたとき1の目が偶数回出る確率は、
1－pｎ
と表すことができるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{n+1}=\frac{1}{6}(1-p_n)+\frac{5}{6}\ p_n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ p_{n+1}=\frac{2}{3}\ p_n+\frac{1}{6}\ \ }\end{align*}}$
(3)
(2)で得られた漸化式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{n+1}-\frac{1}{2}=\frac{2}{3}\left(p_n-\frac{1}{2}\right)\end{align*}}$
と変形できるので、
数列 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{p_n-\frac{1}{2}\right\}\end{align*}}$ は公比 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\end{align*}}$ の等比数列となる。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_n-\frac{1}{2}=\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\left(p_1-\frac{1}{2}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ p_n=-\frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}+\frac{1}{2}\ \ }\end{align*}}$
これも基本的な問題なので、確実にゲットです！
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第3問（理学部）
(1) 関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf y=x\ \log x\ \ \ \left(\frac{1}{3}\leqq x\leqq 1\right)\end{align*}}$
の増減、凹凸を調べて、そのグラフをかけ。
ただし対数は自然対数とする。また自然対数の底ｅは、
2＜ｅ＜3を満たす。
(2) 定積分
$\small\sf{\begin{align*} \sf \int_{\frac{1}{3}}^1\ x\ \log x\ dx\end{align*}}$
を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
与式の第一次および第二次導関数を求めると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y'=1\cdot\log x+x\cdot\frac{1}{x}=\log x+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y''=\frac{1}{x}\end{align*}}$
となる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\leqq x\leqq 1\end{align*}}$ の範囲において、y”は常に正であり、
y’=0となるのは、2＜ｅ＜3より
logx=－1 ⇔ x=ｅ-1
のときである。
よって、この範囲における増減表およびグラフは下のようになる。
(2)
部分積分法を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_{\frac{1}{3}}^1\ x\ \log x\ dx=\left[\frac{1}{2}x^2\ \log x\right]_{\frac{1}{3}}^1-\int_{\frac{1}{3}}^1\frac{1}{2}x^2\cdot\frac{1}{x}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =0-\frac{1}{18}\log\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\int_{\frac{1}{3}}^1x\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{18}\log3-\frac{1}{2}\ \left[\ \frac{1}{2}x^2\right]_{\frac{1}{3}}^1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{18}\log3-\frac{1}{2}\ \left(\ \frac{1}{2}-\frac{1}{18}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{18}\log3-\frac{2}{9}\ \ }\end{align*}}$
これまた標準的な問題ですね。
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第4問（生活環境学部）
円に内接する四角形ABCDにおいて、
AB=1、 BC=2、 CD=3、 DA=4
であるとする。ACとBDの交点をEとする。以下の問いに答えよ。
(1) BDの長さを求めよ。
(2) BE：EDを求めよ。
(3) $\small\sf{\begin{align*} \overrightarrow{\sf \sf BC}\cdot\overrightarrow{\sf BE}\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
△ABDにおいて、余弦定理より
BD2=12+42－2･1･4･cos∠BAD
=17－8cos∠BAD ････①
△ABDにおいて、余弦定理より
BD2=22+32－2･2･3･cos∠BCD
=13－12cos∠BCD ････②
ここで、四角形ABCDは円に内接するので、
cos∠BCD=cos(180°－∠BAD)
=－cos∠BAD ････③
よって、①～③より
17－8cos∠BAD=13+12cos∠BAD
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \cos\angle BAD=\frac{1}{5}\end{align*}}$
これと①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf BD=\sqrt{17-\frac{8}{5}}=\underline{\ \frac{\sqrt{385}}{5}\ \ }\end{align*}}$
(2)
BE=x、DE=yとおくと、
△ABE∽△CDEより、
BE：CE=AB：DC
⇔ x：CE=1：3
⇔ CE=3x
また、△BCE∽△ADEより
CE：DE=BC：AD
⇔ 3x：y=2：4
⇔ x：y=1：6
よって、
BE：DE=1：6
(3)
∠CBD=$\scriptsize\sf{\theta}$ とおく。
△BCDにおいて、余弦定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\theta=\frac{2^2+\left(\frac{\sqrt{385}}{5}\right)^2-3^2}{2\cdot2\cdot BD}=\frac{13}{5\ \left|\ \overrightarrow{\sf BD}\ \right|}\end{align*}}$
また、(2)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\ \overrightarrow{\sf BE}\ |=\frac{1}{7}\ |\ \overrightarrow{\sf BD}\ |\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BC}\cdot\overrightarrow{\sf BE}=|\ \overrightarrow{\sf BC}\ ||\ \overrightarrow{\sf BE}\ |\ \cos\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\times\frac{1}{7}\ |\ \overrightarrow{\sf BD}\ |\times\frac{13}{5\ |\ \overrightarrow{\sf BD}\ |}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{26}{35}\ \ }\end{align*}}$
センター試験でありがちな問題ですね。
(2)はいろいろな考え方があると思います。
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- 2012/07/17(火) 23:57:00|
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第5問（生活環境学部）
a、bは実数でa＜bをみたすものとする。
ｆ(x)=2x3－3(a+b)x2+6abx
とする。以下の問いに答えよ。
(1) 関数ｆ(x)の極大値と極小値を求めよ。
(2) xについての3次方程式ｆ(x)=0が異なる3つの実数解をもつとき、
a、bのとり得る値の範囲を求め、ab平面上に図示せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
ｆ(x)の導関数を求めると、
ｆ’(x)=6x2－6(a+b)x+6ab
=6(x－a)(x－b)
a＜bなので、増減表を書くと、
ｆ(a)=2a3－3(a+b)a2+6ab=－a3+3a2b
ｆ(b)=－b3+3ab2
より、
x=aで極大値 －a3+3a2b
x=bで極小値 －b3+3ab2
をとる。
(2)
ｆ(x)=0が異なる3つの実数解をもつとき、
極大値ｆ(a)＞0 かつ 極小値ｆ(b)＜0
であればよい。
よって、
－a3+3a2b＞0 かつ －b3+3ab2＜0
⇔ －a2(a－3b)＞0 かつ－b2(b－3a)＜0
a2≧0、b2≧0より
a－3b＜0 かつ b－3a＞0
これらを図示すると、右図のようになる。
ただし、境界線上の点は含まない。
(2)はｆ(x)のグラフをイメージするといいでしょう。
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- 2012/07/18(水) 23:54:00|
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第6問（生活環境学部）
直線L：y=x上を動く点Pと、PでLと接する円C1を考える。
Pの座標を(ｔ，ｔ)、C1の中心の座標を(a，b)とする。ただし、
ｔ＞0、a＞bとする。以下の問いに答えよ。
(1) 以下の(ⅰ)、(ⅱ)に答えよ。
(ⅰ) a+bをｔを用いて表せ。
(ⅱ) C1の半径をa、bを用いて表せ。
(2) 中心が(1，－1)の円C2もLに接しているとする。
C1が、さらにC2に接しているとする。以下の(ⅰ)、(ⅱ)に
答えよ。
(ⅰ) (a+b)2=8(a－b) を示せ。
(ⅱ) bの最大値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
(ⅰ)
C1の中心をQとおくと、PQは直線Lと垂直なので、
傾きの積を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{b-t}{a-t}\cdot1=-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b-t=-a+t\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ a+b=2t\ \ }\end{align*}}$
(ⅱ)
C1の半径をrとすると、
rは点Qから直線L：x－y=0
までの距離に等しいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r=\frac{|\ a-b\ |}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\end{align*}}$ ．
ここで、a＞bなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ r=\frac{a-b}{\sqrt2}\ \ }\end{align*}}$
(2)
(ⅰ)
円C2の中心をQ’、半径をr’とおくと、
r’はQ’から直線Lまでの距離に等しいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r'=\frac{|\ 1+1\ |}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\sqrt2\end{align*}}$ ．
2円C1、C2が外接するためには、
中心間の距離が半径の和に等しければよい。
すなわち、QQ’=r+r’なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{(a-1)^2+(b+1)^2}=\frac{a-b}{\sqrt2}+\sqrt2\end{align*}}$
両辺＞0なので、両辺を2乗すると、
2(a－1)2+2(b+1)2=(a－b+2)2
⇔ 2a2－4a+2+2b2+4b+2=a2+b2+4－2ab+4a－4b
⇔ a2+2ab+b2=8a－8b ････①
⇔ (a+b)2=8(a－b)
(ⅱ)
①式をaについて整理すると、
a2+2(b－4)a+b2+8b=0
aは実数なので、判別式を考えると、
D/4=(b－4)2－(b2+8b)
=－16b+16≧0
⇔ b≦1
b=1のとき、①を解くと、a=3となる。
これは、a＞bを満たしている。
またこのとき、(1)(ⅰ)より、ｔ=2となり、
これはｔ＞0を満たしている。
よって、bの最大値は
b=1
(2)(ⅱ)だけ突然難しいですね＾＾；；
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- 2012/07/18(水) 23:57:00|
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