第1問
実数x、yに関する次の各命題の真偽を答えよ。さらに、真である場合は証明し、
偽である場合は反例をあげよ。
(1) x＞0かつxy＞0ならば、y＞0である。
(2) x≧0かつxy≧0ならば、y≧0である。
(3) x+y≧0かつxy≧0ならば、y≧0である。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
真
（証明）
xy＞0の両辺をx（＞0）で割ると、y＞0となる。
(2)
偽
（反例）
x=0、y=－1は、x≧0かつxy≧0を満たすが、
y≧0を満たさない。
(3)
真
（証明）
y＜0の場合を考える。
・x≦0のとき、x+y＜0
・x＞0のとき、xy＜0
となるので、
y＜0ならば、x+y＜0またはxy＜0 である。
この命題の対偶をとると、
x+y≧0かつxy≧0ならば、y≧0となる。
んまぁ、そのまんまですな。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2012/07/11(水) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 理系 2008
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第2問
xy平面上に3点A(1，0)、B(－1，0)、C(0，${\sf \sqrt3}$ )をとる。
このとき、次の問いに答えよ。
(1) A、Bの2点を中心とする同じ半径rの2つの円が接する。
このようなrの値を求めよ。
(2) (1)で求めたrの値について、Cを中心とする半径rの円が、
ABの2点を中心とする半径rの2つの円のどちらとも接する
ことを示せ。
(3) A、B、Cの3点を中心とする同じ半径sの3つの円が直線Lに
接する。このようなsの値と直線Lの方程式をすべて求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
A、B、Cを中心とする円をそれぞれPA、PB、PCとおく。
(1)
半径が等しい2円が接するときは外接に限る。
AB間の距離は2であり、
中心間の距離=半径の和
が成り立つので、
r=1
(2)
2円PA、PCともに半径がr=1であり、
AC間の距離は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AC=\sqrt{(-1)^2+(\sqrt3) ^2}=2\end{align*}}$
となり、
中心間の距離=半径の和=2
を満たすので、2円PA、PCは外接する。
同様に、BC間の距離も
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf BC=\sqrt{1^2+(\sqrt3) ^2}=2\end{align*}}$
となるので、2円PB、PCは外接する。
(3)
直線Lの方程式を
L： ax+by+c=0
とおく。ただし、(a，b)≠(0，0)
3つの円の中心A、B、Cからの距離がすべて半径sと等しいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{|\ a+c\ |}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|\ a-c\ |}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|\ \sqrt3\ b+c\ |}{\sqrt{a^2+b^2}}=s\end{align*}}$ ････①
まず、
|a+c|=|a－c| ⇔ a+c=±(a－c)
⇔ a=0 または c=0
(ⅰ)a=0のとき
①は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{|\ c\ |}{|\ b\ |}=\frac{|\ \sqrt3\ b+c\ |}{|\ b\ |}=s\end{align*}}$
となり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c=\pm (\sqrt3\ b+c)\end{align*}}$
(a，b)≠(0，0)よりb≠0なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf c=-\frac{\sqrt3}{2}\ b\end{align*}}$
を得る。このとき、Lの方程式およびsの値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L:\ by-\frac{\sqrt3}{2}\ b=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ y=\frac{\sqrt3}{2}\ \ }\ \ (\because b\ne0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=\frac{|\ -\frac{\sqrt3}{2}\ b\ |}{|\ b\ |}=\underline{\ \frac{\sqrt3}{2}\ \ }\end{align*}}$
(ⅱ)c=0のとき
①は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{|\ a\ |}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|\ \sqrt3\ b\ |}{\sqrt{a^2+b^2}}=s\end{align*}}$
となり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\pm\sqrt3\ b\end{align*}}$
を得る。このとき、Lの方程式およびsの値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L:\ \pm\sqrt3\ bx+by=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ y=\pm\sqrt3\ x\ \ }\ \ (\because b\ne0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=\frac{|\ \pm\sqrt3\ b\ |}{\sqrt{(\pm\sqrt3\ b)^2+b^2}}=\underline{\ \frac{\sqrt3}{2}\ \ }\end{align*}}$
△ABCは正三角形になるので、重心Gは対称の中心となります。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2012/07/12(木) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 理系 2008
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第3問
1からnまでの自然数1，2，3，････，nの和をSとするとき、次の問い
に答えよ。
(1) nを4で割った余りが0または3ならば、Sが偶数であることを示せ。
(2) Sが偶数ならば、nを4で割った余りが0または3であることを示せ。
(3) Sが4の倍数ならば、nを8で割った余りが0または7であることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=1+2+\ldots+n=\frac{1}{2}n(n+1)\end{align*}}$
(1)
mを整数とする
(ⅰ) n=4mのとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}\cdot4m(4m+1)=2m(4m+1)\end{align*}}$
m(4m+1)は整数なので、Sは偶数である。
(ⅱ) n=4m+3のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}(4m+3)(4m+4)=2(4m+3)(m+1)\end{align*}}$
(4m+3)(m+1)は整数なので、Sは偶数である。
よって、題意は示された。
(2)
nを4で割ったときの余りは、0、1、2、3のいずれかである。
(ⅲ) n=4m+1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}(4m+1)(4m+2)=(4m+1)(m+1)\end{align*}}$
m+1、4m+1はともに奇数なので、Sは奇数である。
(ⅳ) n=4m+2のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}(4m+2)(4m+3)=(m+1)(4m+3)\end{align*}}$
m+1、4m+3はともに奇数なので、Sは奇数である。
よって、
「nを4で割った余りが0、3のいずれでもないならば、Sは奇数である。」
これの対偶をとると、
「Sが偶数ならば、nを4で割った余りが0または3である」
となるので、題意は示された。
(3)
Sが4の倍数になるためには、Sが偶数である必要があり、
(2)より、nは4の倍数または、4で割って3余る数である。
すなわち、n=4m または n=4m+3 となる必要がある。
mが偶数のとき、m=2k（kは整数）と表せる。
(ⅴ) n=4m=8kのとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}\cdot 8k(8k+1)=4k(8k+1)\end{align*}}$
k(8k+1)は整数なので、Sは4の倍数
(ⅵ) n=4m+3=8k+3のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}(8k+3)(8k+4)=2(8k+3)(2k+1)\end{align*}}$
8k+3、2k+1はともに奇数なので、Sは4の倍数ではない。
mが奇数のとき、m=2k+1（kは整数）と表せる。
(ⅶ) n=4m=8k+4と表されるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}(8k+4)(8k+5)=2(2k+1)(8k+5)\end{align*}}$
2k+1、8k+5はともに奇数なので、Sは4の倍数ではない。
(ⅷ) n=4m+3=8k+7のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}(8k+7)(8k+8)=4(8k+7)(k+1)\end{align*}}$
(8k+7)(k+1)は整数なので、Sは4の倍数
以上より、Sが4の倍数になるのは、(ⅴ)、(ⅷ)の場合なので、
題意は示された。
PCだとコピペできるので楽なんですが、実際に手で書くことを考えると、
もう少し途中を省略して書いた方がいいかもしれないですねｗｗ
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2012/07/13(金) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 理系 2008
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第4問
xy平面上に5点A(0，2)、B(2，2)、C(2，1)、D(4，1)、P(0，3)
をとる。点Pを通り傾きaの直線Lが、線分BCと交わり、その交点は
B、Cと異なるとする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) aの値の範囲を求めよ。
(2) 直線Lと線分AB、線分BCで囲まれる図形をx軸のまわりに1回転
させてできる回転体の体積をV1、直線Lと線分BC、線分CDで
囲まれる図形をx軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積をV2
とするとき、それらの和V=V1+V2をaの式で表せ。
(3) (1)で求めたaの値の範囲で、(2)で求めたVは、
$\small\sf{\begin{align*} \sf a=-\frac{3}{4}\end{align*}}$
のとき最小値をとることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
直線L：y=ax+3 が点B(2，2)を通るとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2=2a+3\ \ \Leftrightarrow\ \ a=-\frac{1}{2}\end{align*}}$ ．
直線L が点C(2，1)を通るとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1=2a+3\ \ \Leftrightarrow\ \ a=-1\end{align*}}$ ．
よって、aのとりうる値の範囲は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ -1\lt a<-\frac{1}{2}\ \ }\end{align*}}$
(2)
Lと線分AB、BC、CDとの交点をそれぞれQ、R、Sとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Q\left(-\frac{1}{a}\ ,\ 2 \right)\ \ ,\ \ R\left(2\ ,\ 2a+3 \right)\ \ ,\ \ S\left(-\frac{2}{a}\ ,\ 1\right)\end{align*}}$
となる。
V1は、
(線分BQによる回転体の体積)－(線分QRによる回転体の体積)
として求めることができるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_1=2^2\pi\times\left(2+\frac{1}{a}\right)-\pi\int_{-\frac{1}{a}}^2\left(ax+3\right)^2\ dx\end{align*}}$
これを計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_1=-\frac{\pi}{3}\left(8a^2+36a+30+\frac{7}{a}\right)\end{align*}}$
一方、V2は、
(線分RSによる回転体の体積)－(線分CSによる回転体の体積)
として求めることができるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_1=\pi\int_2^{-\frac{2}{a}}\left(ax+3\right)^2\ dx-1^2\pi\times\left(-\frac{1}{a}-2\right)\end{align*}}$
これを計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_2=-\frac{\pi}{3}\left(8a^2+36a+48+\frac{20}{a}\right)\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=V_1+V_2=\underline{\ -\frac{\pi}{3}\left(16a^2+72a+78+\frac{27}{a}\right)\ \ }\end{align*}}$
(3)
Vをaで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V'=-\frac{\pi}{3}\left(32a+72-\frac{27}{a^2}\right)\end{align*}}$
となり、これを整理すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V'=-\frac{\pi}{3}\cdot\frac{(4a+3)(8a^2+12a-9)}{a^2}\end{align*}}$
V’=0となるのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=-\frac{3}{4}\ \ ,\ \ \frac{-3\pm3\sqrt3}{4}\end{align*}}$
のときであり、
(1)で求めた範囲で増減表を書くと、下のようになる。
よって、Vが最小となるときのaの値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=-\frac{3}{4}\end{align*}}$
となり、題意を満たす。
計算が面倒ですね・・・・
途中は省略してます。スミマセン
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2012/07/14(土) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 理系 2008
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第5問
n、kを自然数とする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) (1+x)nの展開式を用いて、次の等式を示せ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf 2^n=_nC_0+_nC_1+_nC_2+_nC_3+\ldots+_nC_n\end{align*}}$
$\small\sf{\begin{align*} \sf 0=_nC_0-_nC_1+_nC_2-_nC_3+\ldots+(-1)^n\ _nC_n\end{align*}}$
(2)
$\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf 0&\sf 1\\ \sf 1&\sf 0\end{pmatrix}^k\end{align*}}$ を求めよ。
(3) 2次の正方行列 M1、M2、M3、････、Mnは、それぞれが $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$
の確率で $\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf 1 &\sf 0\\ \sf 0 &\sf 1\end{pmatrix}\ \ ,\ \ \begin{pmatrix}\sf 0 &\sf 1\\ \sf 1 &\sf 0\end{pmatrix}\ \ ,\ \ \begin{pmatrix}\sf 0 &\sf 0\\ \sf 0 &\sf 0\end{pmatrix}\end{align*}}$ のいずれかになるとする。
n個の行列の積M1M2M3････Mnが $\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf 1 &\sf 0\\ \sf 0 &\sf 1\end{pmatrix}\end{align*}}$ と等しくなる確率
を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
二項定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (1+x)^n=_nC_0+_nC_1x+_nC_2x^2+_nC_3x^3+\ldots+_nC_nx^n\end{align*}}$
これにx=1を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (1+1)^n=_nC_0+_nC_1\cdot 1+_nC_2\cdot 1^2+_nC_3\cdot 1^3+\ldots+_nC_n\cdot 1^n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2^n=_nC_0+_nC_1+_nC_2+_nC_3+\ldots+_nC_n\end{align*}}$
x=－1を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (1-1)^n=_nC_0+_nC_1\cdot (-1)+_nC_2\cdot (-1)^2+_nC_3\cdot (-1)^3+\ldots+_nC_n\cdot (-1)^n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 0=_nC_0-_nC_1+_nC_2-_nC_3+\ldots+(-1)^n\ _nC_n\end{align*}}$
以下、 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf E=\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf 0\\ \sf 0&\sf 1\end{pmatrix}\ \ ,\ \ A=\begin{pmatrix}\sf 0 &\sf 1\\ \sf 1 &\sf 0\end{pmatrix}\ \ ,\ \ O=\begin{pmatrix}\sf 0 &\sf 0\\ \sf 0 &\sf 0\end{pmatrix}\end{align*}}$ とおく。
(2)
ハミルトン・ケーリーの定理より
A2－(0+0)A+(0－1)E=O ⇔ A2=E
なので、
kが偶数のとき、Ak=E
奇数のとき、Ak=A
(3)
P=M1M2M3････Mn とおく。
M1～Mnの中に1つでもOを含むと、P=Oとなるので、
Oを含まない。
M1～MnのうちAの個数をk（0≦k≦n）とすると、
Eがn－k個なので、
P=AkEn-k
と表すことができ、A、Eの並び方は nCk通りある。
また、(2)より、
P=E
となるのは、kが偶数（0も含む）のときである。
(ⅰ)n=2m（m：0以上の整数）のとき
P=Eとなるのは、
k=0，2，4，････，2m－2，2m
のときであり、A、Eの並び方の総数をSnとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_n=_{2m}C_0+_{2m}C_2+_{2m}C_4+\ldots +_{2m}C_{2m}\end{align*}}$ ････①
と表すことができる。
ここで、(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2^{2m}=_{2m}C_0+_{2m}C_1+_{2m}C_2+_{2m}C_3+\ldots +_{2m}C_{2m-1}+_{2m}C_{2m}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0=_{2m}C_0-_{2m}C_1+_{2m}C_2-_{2m}C_3+\ldots -_{2m}C_{2m-1}+_{2m}C_{2m}\end{align*}}$
であり、これらを辺々加えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2^{2m}=2\left(_{2m}C_0+_{2m}C_2+_{2m}C_4+\ldots +_{2m}C_{2m}\right)\end{align*}}$
これと①より
2Sn=22m ⇔ Sn=22m-1=2n-1
(ⅱ)n=2m+1（m：0以上の整数）のとき
P=Eとなるのは、
k=0，2，4，････，2m－2，2m
のときであり、A、Eの並び方の総数をSnとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_n=_{2m+1}C_0+_{2m+1}C_2+_{2m+1}C_4+\ldots +_{2m+1}C_{2m}\end{align*}}$ ････②
と表すことができる。
ここで、(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2^{2m+1}=_{2m+1}C_0+_{2m+1}C_1+_{2m+1}C_2+_{2m+1}C_3+\ldots +_{2m+1}C_{2m}+_{2m+1}C_{2m+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0=_{2m+1}C_0-_{2m+1}C_1+_{2m+1}C_2-_{2m+1}C_3+\ldots +_{2m+1}C_{2m}-_{2m+1}C_{2m+1}\end{align*}}$
であり、これらを辺々加えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2^{2m+1}=2\left(_{2m+1}C_0+_{2m+1}C_2+_{2m+1}C_4+\ldots +_{2m+1}C_{2m}\right)\end{align*}}$
これと②より
2Sn=22m+1 ⇔ Sn=22m=2n-1
よって、(ⅰ)、(ⅱ)いずれの場合も
Sn=2n-1
となり、M1～Mnはそれぞれ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ の確率でA、E、Oになるので、
P=Eとなる確率pは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ p=\frac{2^{n-1}}{3^n}\ \ }\end{align*}}$
実は、偶奇で場合分けする必要はなかったんですけどね。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2012/07/15(日) 23:57:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 理系 2008
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
