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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2008神戸大 理系数学1






第1問

  実数x、yに関する次の各命題の真偽を答えよ。さらに、真である場合は証明し、
  偽である場合は反例をあげよ。

 (1) x>0かつxy>0ならば、y>0である。

 (2) x≧0かつxy≧0ならば、y≧0である。

 (3) x+y≧0かつxy≧0ならば、y≧0である。



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  1. 2012/07/11(水) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 理系 2008
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2008神戸大 理系数学2





第2問

  xy平面上に3点A(1,0)、B(-1,0)、C(0,${\sf \sqrt3}$ )をとる。
  このとき、次の問いに答えよ。

 (1) A、Bの2点を中心とする同じ半径rの2つの円が接する。
    このようなrの値を求めよ。

 (2) (1)で求めたrの値について、Cを中心とする半径rの円が、
    ABの2点を中心とする半径rの2つの円のどちらとも接する
    ことを示せ。

 (3) A、B、Cの3点を中心とする同じ半径sの3つの円が直線Lに
    接する。このようなsの値と直線Lの方程式をすべて求めよ。


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  1. 2012/07/12(木) 23:57:00|
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2008神戸大 理系数学3





第3問

  1からnまでの自然数1,2,3,・・・・,nの和をSとするとき、次の問い
  に答えよ。

 (1) nを4で割った余りが0または3ならば、Sが偶数であることを示せ。

 (2) Sが偶数ならば、nを4で割った余りが0または3であることを示せ。

 (3) Sが4の倍数ならば、nを8で割った余りが0または7であることを示せ。



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  1. 2012/07/13(金) 23:57:00|
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2008神戸大 理系数学4





第4問

  xy平面上に5点A(0,2)、B(2,2)、C(2,1)、D(4,1)、P(0,3)
  をとる。点Pを通り傾きaの直線Lが、線分BCと交わり、その交点は
  B、Cと異なるとする。このとき、次の問いに答えよ。

 (1) aの値の範囲を求めよ。

 (2) 直線Lと線分AB、線分BCで囲まれる図形をx軸のまわりに1回転
    させてできる回転体の体積をV1、直線Lと線分BC、線分CDで
    囲まれる図形をx軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積をV2
    とするとき、それらの和V=V1+V2をaの式で表せ。

 (3) (1)で求めたaの値の範囲で、(2)で求めたVは、
            $\small\sf{\begin{align*} \sf a=-\frac{3}{4}\end{align*}}$
    のとき最小値をとることを示せ。



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  1. 2012/07/14(土) 23:57:00|
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2008神戸大 理系数学5




第5問

  n、kを自然数とする。このとき、次の問いに答えよ。

 (1) (1+x)nの展開式を用いて、次の等式を示せ。
        $\small\sf{\begin{align*} \sf 2^n=_nC_0+_nC_1+_nC_2+_nC_3+\ldots+_nC_n\end{align*}}$
         $\small\sf{\begin{align*} \sf 0=_nC_0-_nC_1+_nC_2-_nC_3+\ldots+(-1)^n\ _nC_n\end{align*}}$

 (2)
   $\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf 0&\sf 1\\ \sf 1&\sf 0\end{pmatrix}^k\end{align*}}$ を求めよ。

 (3) 2次の正方行列 M1、M2、M3、・・・・、Mnは、それぞれが $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$
    の確率で $\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf 1 &\sf 0\\ \sf 0 &\sf 1\end{pmatrix}\ \ ,\ \ \begin{pmatrix}\sf 0 &\sf 1\\ \sf 1 &\sf 0\end{pmatrix}\ \ ,\ \ \begin{pmatrix}\sf 0 &\sf 0\\ \sf 0 &\sf 0\end{pmatrix}\end{align*}}$ のいずれかになるとする。
    n個の行列の積M1M2M3・・・・Mnが $\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix}\sf 1 &\sf 0\\ \sf 0 &\sf 1\end{pmatrix}\end{align*}}$ と等しくなる確率
    を求めよ。



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  1. 2012/07/15(日) 23:57:00|
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