第1問
a、bは実数でa＞b＞0とする。区間0≦x≦1で定義される
関数ｆ(x)を次のように定める。
$\small{\sf ｆ(x)=\log (ax+b(1-x))-x\log a-(1-x)\log b}$
ただし、log は自然対数を表す。このとき, 以下のことを示せ。
(1) 0＜x＜1に対して ｆ”(x)＜0が成り立つ。
(2) ｆ’(c)=0を満たす実数xが、0＜c＜1の範囲にただ1つ存在する。
(3) 0≦x≦1を満たす実数xに対して、$\small{\sf ax+b(1-x)\leqq a^xb^{1-x}}$ が
成り立つ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
ｆ(x)の第1次および第2次導関数を求めると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\frac{a-b}{ax+b(1-x)}-\log a+\log b\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ ''(x)=-\frac{(a-b)^2}{\{ax+b(1-x)\}^2}\end{align*}}$
となるので、0＜x＜1に対してｆ”(x)＜0である。
(2)
まず、
$\scriptsize\sf{\sf ｆ(0)=\log b-\log b=0}$
$\scriptsize\sf{\sf ｆ(1)=\log a-\log a=0}$ ････①
ｆ(x)は区間0≦x≦1において連続であり、区間0＜x＜1で微分可能なので
平均値の定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{f\ (1)-f\ (0)}{1-0}=f\ '(c)\ \ \Leftrightarrow\ \ f\ '(c)=0\end{align*}}$ ←①より
となるcが、0＜c＜1の範囲に存在する。
また、(1)より0＜c＜1で常にｆ”(x)＜0なので、
この区間においてｆ’(x)は単調減少である。
よって、ｆ’(c)=0となるcはただ1つ存在する。
(3)
(1)、(2)より、ｆ’(x)は単調減少であり、ｆ’(c)=0なので、
0＜x＜cに対してｆ’(x)＞0
c＜x＜1に対してｆ’(x)＜0
となる。
これと①を踏まえて増減表を書くと下の通り。
よって、0≦x≦1で常に
$\scriptsize\sf{\sf ｆ(x)\geqq 0}$
⇔ $\scriptsize\sf{\sf \log(ax+b(1-x))\geqq x\log a+(1-x)\log b}$
⇔ $\scriptsize\sf{\sf \log(ax+b(1-x))=\log a^xb^{1-x}}$
底ｅ＞1なので、
$\scriptsize\sf{\sf ax+b(1-x)\geqq a^xb^{1-x}}$
が成り立つ。
(2)で平均値の定理を使うのがミソです。
ｆ’(0)＞0 かつ ｆ’(1)＜0を示す方向でもできなくはないですが、
計算が少し面倒です。
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第2問
ｆ(x)=x3－3x+1 、 ｇ(x)=x2－2とし、方程式ｆ(x)=0について考える。
このとき、以下のことを示せ。
(1) ｆ(x)=0は絶対値が2より小さい3つの相異なる実数解をもつ。
(2) $\small\sf{\alpha}$ がｆ(x)=0の解ならば、ｇ($\small\sf{\alpha}$ )もｆ(x)=0の解となる。
(3) ｆ(x)=0の解を小さい順にa1、a2、a3とすれば、
ｇ(a1)=a3、 ｇ(a2)=a1、 ｇ(a3)=a2
となる。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
ｆ(x)の導関数を求めると、
ｆ’(x)=3x2－3=3(x－1)(x+1)
－2≦x≦2の範囲におけるｆ(x)の増減表は下の通り。
ｆ(－2)＜0、 ｆ(－1)＞0、 ｆ(1)＜0、 ｆ(2)＞0なので、
方程式ｆ(x)=0は、－2と－1の間、－1と1の間、1と2の間に
それぞれ1つずつ解をもつので、題意を満たす。
(2)
$\scriptsize\sf{\alpha}$ はｆ(x)=0の解なので、
$\scriptsize\sf{\alpha}$ 3－3$\scriptsize\sf{\alpha}$ +1=0 ⇔ $\scriptsize\sf{\alpha}$ 3=3$\scriptsize\sf{\alpha}$ －1 ････①
この$\scriptsize\sf{\alpha}$ に対して、
ｆ(ｇ($\scriptsize\sf{\alpha}$ ))
=ｆ($\scriptsize\sf{\alpha}$ 2－2)
=($\scriptsize\sf{\alpha}$ 2－2)3－3($\scriptsize\sf{\alpha}$ 2－2)+1
=$\scriptsize\sf{\alpha}$ 6－6$\scriptsize\sf{\alpha}$ 4+9$\scriptsize\sf{\alpha}$ 2－1
=(3$\scriptsize\sf{\alpha}$ －1)2－6$\scriptsize\sf{\alpha}$ (3$\scriptsize\sf{\alpha}$ －1)+9$\scriptsize\sf{\alpha}$ 2－1 ←①より
=9$\scriptsize\sf{\alpha}$ 2－6$\scriptsize\sf{\alpha}$ +1－18$\scriptsize\sf{\alpha}$ 2+6$\scriptsize\sf{\alpha}$ +9$\scriptsize\sf{\alpha}$ 2－1
=0
となるので、ｇ($\scriptsize\sf{\alpha}$ )もｆ(x)=0の解となる。
(3)
(2)より、
ｇ(a1)、ｇ(a2)、ｇ(a3)はいずれも方程式ｆ(x)=0の
解となるので、
それぞれa1、a2、a3のいずれかと一致する。
ここで、 
ｆ(－$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ )=－3$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ +3$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ +1＞0
ｆ(0)=1＞0
ｆ($\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ )=3$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ －3$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ +1＞0
なので、
a1、a2、a3の範囲はさらに絞り込むことができ、
－2＜a1＜－$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$
0＜a2＜1
1＜a3＜$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$
となる。よって、
3＜a12＜4 ⇔ 1＜ｇ(a1)＜2 より ｇ(a1)=a3
0＜a22＜1 ⇔ －2＜ｇ(a2)＜－1 より ｇ(a2)=a1
1＜a32＜3 ⇔ －1＜ｇ(a3)＜1 より ｇ(a3)=a2
となるので、題意は示された。
(3)で突然 $\scriptsize\sf{\begin{align*} {\color{blue} \sf \sqrt3}\end{align*}}$ が出てきて意味不明かもしれません。
(1)で得られる範囲では、
－2＜a1＜－1 ⇔ －1＜ｇ(a1)＜2
と、範囲が広すぎので、$\scriptsize\sf{\begin{align*} {\color{blue} \sf \sqrt2}\end{align*}}$ や$\scriptsize\sf{\begin{align*} {\color{blue} \sf \sqrt3}\end{align*}}$ を代入していって狭めただけです。
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第3問
aを0≦a＜$\small\sf{\pi}$ /2の範囲にある実数とする。2つの直線
$\small\sf{\begin{align*} \sf x=0\ \ ,\ \ x=\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
および 2つの曲線
$\small\sf{\begin{align*} \sf y=\cos(x-a)\ \ ,\ \ y=-\cos x\end{align*}}$
によって囲まれる図形をGとする。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) 図形Gの面積をSとする。Sをaを用いた式で表せ。
(2) aが0≦a＜$\small\sf{\pi}$ /2 の範囲を動くとき、Sを最大にするようなaの値と、
そのときのSの値を求めよ。
(3) 図形Gをx軸のまわりに1回転させてできる立体の体積をVとする。
Vをaを用いた式で表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
2曲線を
C1： y=－cosx
C2： y=cos(x－a)
とおく。
(1)
C2のグラフは、y=cosxのグラフをx軸方向にaだけ
平行移動したものなので、2曲線の位置関係は右図
のようになる。
よって、図形Gの面積Sは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_0^{\pi/2}\{\cos(x-a)-(-\cos x)\}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\ \sin(x-a)+\sin x\ \right]_0^{\pi/2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sin\left(\frac{\pi}{2}-a\right)+\sin\frac{\pi}{2}-\left\{\sin(-a)+\sin0\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \sin a+\cos a+1\ \ }\end{align*}}$
(2)
(1)の右辺を合成すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\sqrt2\ \sin\left(a+\frac{\pi}{4}\right)+1\end{align*}}$
となり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{4}\leqq a+\frac{\pi}{4}<\frac{3\pi}{4}\end{align*}}$
の範囲で
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sqrt2}{2}\leqq \sin\left(a+\frac{\pi}{4}\right) \leqq 1\end{align*}}$
なので、Sの最大値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ S_{max}=\sqrt2 +1\ \ }\end{align*}}$
このときのaの値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a=\frac{\pi}{4}\ \ }\end{align*}}$
(3)
C1をx軸に関して対称移動した曲線をC'1とすると、
C'1： y=cosx
であり、図の対称性よりC1とC2の交点のx座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{a}{2}\end{align*}}$
となる。
C'1の0≦x≦a/2の部分、C2のa/2≦x≦$\scriptsize\sf{\pi}$ /2の部分、
両軸および直線x=$\scriptsize\sf{\pi}$ /2で囲まれた部分をG'とする。
（右図のピンク色の部分）
図形Gをx軸のまわりに1回転させてできる立体は、
G’をx軸のまわりに1回転させてできる立体と一致する。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\pi\int_0^{a/2}\ \cos^2 x\ dx+\pi\int_{a/2}^{\pi/2}\ \cos^2(x-a)\ dx\end{align*}}$
と求めることができる。
倍角公式を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\pi\int_0^{a/2}\frac{1+\cos 2x}{2}\ dx+\pi\int_{a/2}^{\pi/2}\frac{1+\cos 2(x-a)}{2}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{2}\left[\ x+\frac{1}{2}\sin 2x\ \right]_0^{a/2}+\frac{\pi}{2}\left[\ x+\frac{1}{2}\sin 2(x-a)\ \right]_{a/2}^{\pi/2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{2}\left(\frac{a}{2}+\frac{1}{2}\sin a\right)+\frac{\pi}{2}\left\{\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}\sin (\pi-2a)\right\}-\frac{\pi}{2}\left\{\frac{a}{2}+\frac{1}{2}\sin (-a)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{\pi}{4}\left(\sin 2a+2\sin a+\pi\right)\ \ }\end{align*}}$
これもよくあるパターンの問題ですね。
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第5問
ｔを実数として、数列a1、a2、････ を
a1=1、 a2=2ｔ、 an+1=2ｔan－an-1 （n≧2）
で定める。このとき, 以下の問いに答えよ。
(1) ｔ≧1ならば、0＜a1＜a2＜a3＜････ となることを示せ。
(2) ｔ≦－1ならば、0＜|a1|＜|a2|＜|a3|＜････ となることを示せ。
(3) －1＜ｔ＜1ならば、ｔ=cos$\small\sf{\theta}$ となる$\small\sf{\theta}$ を用いて、
$\small\sf{\begin{align*} \sf a_n=\frac{\sin n\theta}{\sin \theta}\ \ \ (n\geqq1)\end{align*}}$
となることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
0＜a1は明らかなので、すべての自然数nに対して
an＜an+1 ･･･(A)
となることを数学的帰納法で示す。
(ⅰ)n=1のときは、ｔ≧1より自明
(ⅱ)n=kのときに成立すると仮定すると、
ak＜ak+1 ････①
与えられた漸化式より、
ak+2=2ｔak+1－ak
≧2ak+1－ak ←ｔ≧1より
＞2ak+1－ak+1 ←①より
=ak+1
となるので、n=k+1のときも(A)は成立する。
よって、すべての自然数nに対して an＜an+1となるので、
0＜a1＜a2＜a3＜････
となる。
(2)
0＜|a1| は明らかなので、すべての自然数nに対して
|an|＜|an+1| ･･･(B)
となることを数学的帰納法で示す。
(ⅰ)n=1のときは、|2ｔ|＞1より自明
(ⅱ)n=kのときに成立すると仮定すると、
|ak|＜|ak+1| ････②
与えられた漸化式より、
|ak+2|=|2ｔak+1－ak|
≧|2ｔak+1|－|ak| ←三角不等式より
=2|ｔ||ak+1|－|ak|
≧2|ak+1|－|ak| ←|ｔ|≧1より
＞2|ak+1|－|ak+1| ←②より
=|ak+1
となるので、n=k+1のときも(B)は成立する。
よって、すべての自然数nに対して |an|＜|an+1|となるので、
0＜|a1|＜|a2|＜|a3|＜････
となる。
(3)
－1＜ｔ＜1のとき、ｔ=cos$\scriptsize\sf{\theta}$ となるような$\scriptsize\sf{\theta}$ が存在する。
すべての自然数nに対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=\frac{\sin n\theta}{\sin \theta}\end{align*}}$ ････(C)
となることを数学的帰納法で示す。
(ⅰ)n=1、2のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sin\theta}{\sin\theta}=1=a_1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sin 2\theta}{\sin\theta}=\frac{2\sin \theta\cos\theta}{\sin\theta}=2\cos\theta=2t=a_2\end{align*}}$
となるので、ともに(C)を満たす。
(ⅱ)n=k、n=k+1のとき (C)を満たすと仮定すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_k=\frac{\sin k\theta}{\sin \theta}\ \ ,\ \ a_{k+1}=\frac{\sin (k+1)\theta}{\sin \theta}\end{align*}}$ ････③
与えられた漸化式より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{k+2}=2t\ a_{k+1}-a_k\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2t\cdot\frac{\sin (k+1)\theta}{\sin \theta}-\frac{\sin k\theta}{\sin \theta}\end{align*}}$ ←③より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2t\left(\sin k\theta\cos\theta+\cos k\theta\sin\theta\right)-\sin k\theta}{\sin\theta}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\left(2\cos^2\theta-1\right)\sin k\theta+2\sin\theta\cos\theta\cos k\theta}{\sin\theta}\end{align*}}$ ←ｔ=cos$\scriptsize\sf{\theta}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\cos 2\theta\sin k\theta+\sin2\theta\cos k\theta}{\sin\theta}\end{align*}}$ ←倍角公式より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\sin(k+2)\theta}{\sin\theta}\end{align*}}$ ←加法定理より
となるので、n=k+1のときも(C)を満たす。
よってすべての自然数nに対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=\frac{\sin n\theta}{\sin \theta}\end{align*}}$
となる。
漸化式3連発！！！
(2)で三角不等式を用いるのが難しいでしょうか。
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- 2012/07/10(火) 23:57:00|
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