青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2009神戸大 理系数学1

あと2日がんばったら、1ヶ月ぶりの休みです!!!



第1問

  a、bは実数でa>b>0とする。区間0≦x≦1で定義される
  関数f(x)を次のように定める。
       f(x)=log(ax+b(1-x))-xloga-(1-x)logb
  ただし、log は自然対数を表す。このとき, 以下のことを示せ。

 (1) 0<x<1に対して f”(x)<0が成り立つ。

 (2) f’(c)=0を満たす実数xが、0<c<1の範囲にただ1つ存在する。

 (3) 0≦x≦1を満たす実数xに対して、ax+b(1-x)≧ax1-x
    成り立つ。



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  1. 2012/07/06(金) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 理系 2009
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2009神戸大 理系数学2

七夕!!!



第2問

  f(x)=x3-3x+1 、 g(x)=x2-2とし、方程式f(x)=0について考える。
  このとき、以下のことを示せ。

 (1) f(x)=0は絶対値が2より小さい3つの相異なる実数解をもつ。

 (2) αがf(x)=0の解ならば、g(α)もf(x)=0の解となる。

 (3) f(x)=0の解を小さい順にa1、a2、a3とすれば、
        g(a1)=a3、 g(a2)=a1、 g(a3)=a2
    となる。



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  1. 2012/07/07(土) 23:57:00|
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2009神戸大 理系数学3

やっと休みです・・・・




第3問

  aを0≦a<π/2の範囲にある実数とする。2つの直線
        
  および 2つの曲線
        
  によって囲まれる図形をGとする。このとき、以下の問いに答えよ。

 (1) 図形Gの面積をSとする。Sをaを用いた式で表せ。

 (2) aが0≦a<π/2 の範囲を動くとき、Sを最大にするようなaの値と、
    そのときのSの値を求めよ。

 (3) 図形Gをx軸のまわりに1回転させてできる立体の体積をVとする。
    Vをaを用いた式で表せ。


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  1. 2012/07/08(日) 23:57:00|
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2009神戸大 理系数学4



第4問

   大小2つのサイコロを同時に1回投げて、大きいサイコロの出た目の数A、
  および小さいサイコロの出た目の数Bに応じて得点を競うゲームを考える。
  ただし、このゲームには6種類の得点X (1≦n≦6)があって、 それぞれ、
  次の規則で定められているとする。

          図01

  ここで、a、bは実数の定数である。また、得点Xの期待値をEとする。
  このとき、以下の問いに答えよ。

 (1) A、Bのとり得る値に対する得点XおよびXの値を、答案用紙の表に
    それぞれ記入せよ。

 (2) E-Eを求めよ。

 (3) E=E=・・・=Eとなるようなa、bはあるか。あれば求めよ。
    なければ、そのことを示せ。




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  1. 2012/07/09(月) 23:57:00|
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2009神戸大 理系数学5

今日は暑かったですねぇ^^;;;
梅雨は明けたんですかね??



第5問

  tを実数として、数列a、a、・・・・ を
      a=1、 a=2t、 an+1=2tan-an-1 (n≧2)
  で定める。このとき, 以下の問いに答えよ。

 (1) t≧1ならば、0<a<a<a<・・・・ となることを示せ。
 (2) t≦-1ならば、0<|a|<|a|<|a|<・・・・ となることを示せ。

 (3) -1<t<1ならば、t=cosθとなるθを用いて、
        
    となることを示せ。


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  1. 2012/07/10(火) 23:57:00|
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