FC2ブログ

青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2009神戸大 理系数学1





第1問

  a、bは実数でa>b>0とする。区間0≦x≦1で定義される
  関数f(x)を次のように定める。
       $\small{\sf f(x)=\log (ax+b(1-x))-x\log a-(1-x)\log b}$
  ただし、log は自然対数を表す。このとき, 以下のことを示せ。

 (1) 0<x<1に対して f”(x)<0が成り立つ。

 (2) f’(c)=0を満たす実数xが、0<c<1の範囲にただ1つ存在する。

 (3) 0≦x≦1を満たす実数xに対して、$\small{\sf ax+b(1-x)\leqq a^xb^{1-x}}$ が
    成り立つ。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2012/07/06(金) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 理系 2009
  3. | トラックバック:1
  4. | コメント:0

2009神戸大 理系数学2





第2問

  f(x)=x3-3x+1 、 g(x)=x2-2とし、方程式f(x)=0について考える。
  このとき、以下のことを示せ。

 (1) f(x)=0は絶対値が2より小さい3つの相異なる実数解をもつ。

 (2) $\small\sf{\alpha}$ がf(x)=0の解ならば、g($\small\sf{\alpha}$ )もf(x)=0の解となる。

 (3) f(x)=0の解を小さい順にa1、a2、a3とすれば、
        g(a1)=a3、 g(a2)=a1、 g(a3)=a2
    となる。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2012/07/07(土) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 理系 2009
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

2009神戸大 理系数学3






第3問

  aを0≦a<$\small\sf{\pi}$ /2の範囲にある実数とする。2つの直線
        $\small\sf{\begin{align*} \sf x=0\ \ ,\ \ x=\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
  および 2つの曲線
        $\small\sf{\begin{align*} \sf y=\cos(x-a)\ \ ,\ \ y=-\cos x\end{align*}}$
  によって囲まれる図形をGとする。このとき、以下の問いに答えよ。

 (1) 図形Gの面積をSとする。Sをaを用いた式で表せ。

 (2) aが0≦a<$\small\sf{\pi}$ /2 の範囲を動くとき、Sを最大にするようなaの値と、
    そのときのSの値を求めよ。

 (3) 図形Gをx軸のまわりに1回転させてできる立体の体積をVとする。
    Vをaを用いた式で表せ。


テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2012/07/08(日) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 理系 2009
  3. | トラックバック:1
  4. | コメント:0

2009神戸大 理系数学4



第4問

   大小2つのサイコロを同時に1回投げて、大きいサイコロの出た目の数A、
  および小さいサイコロの出た目の数Bに応じて得点を競うゲームを考える。
  ただし、このゲームには6種類の得点Xn (1≦n≦6)があって、 それぞれ、
  次の規則で定められているとする。

          図01
解答はこちら↓

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2012/07/09(月) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 理系 2009
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0

2009神戸大 理系数学5





第5問

  tを実数として、数列a1、a2、・・・・ を
      a1=1、 a2=2t、 an+1=2tan-an-1 (n≧2)
  で定める。このとき, 以下の問いに答えよ。

 (1) t≧1ならば、0<a1<a2<a3<・・・・ となることを示せ。
 (2) t≦-1ならば、0<|a1|<|a2|<|a3|<・・・・ となることを示せ。

 (3) -1<t<1ならば、t=cos$\small\sf{\theta}$ となる$\small\sf{\theta}$ を用いて、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf a_n=\frac{\sin n\theta}{\sin \theta}\ \ \ (n\geqq1)\end{align*}}$
    となることを示せ。


テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2012/07/10(火) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 理系 2009
  3. | トラックバック:0
  4. | コメント:0