第1問
xの3次関数ｆ(x)=ax3+bx2+cx+dが、3つの条件
ｆ(1)=1
ｆ(－1)=－1
$\small\sf{\begin{align*} \sf \int_{-1}^1(bx^2+cx+d)dx=1\end{align*}}$
を全て満たしているとする。このようなｆ(x)のなかで定積分
$\small\sf{\begin{align*} \sf \rm I\sf =\int_{-1}^{\frac{1}{2}}\left(f\ ''(x)\right)^2dx\end{align*}}$
を最小にするものを求め、そのときのＩを求めよ。
ただし、ｆ"(x)はｆ'(x)の導関数を表す。
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【解答】
まず条件より、
ｆ(1)=a+b+c+d=1
ｆ(－1)=－a+b－c+d=－1
これらの和および差を考えると、
b+d=0
a+c=1
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_{-1}^1(bx^2+cx+d)dx=2\left[bx^2+d\right]_0^1=\frac{2}{3}b+2d=1\end{align*}}$
これと、b+d=0より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b=-\frac{3}{4}\ ,\ d=\frac{3}{4}\end{align*}}$
よって、ｆ(x)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)=ax^3-\frac{3}{4}x^2+(1-a)x+\frac{3}{4}\end{align*}}$
と表されるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=3ax^2-\frac{3}{2}x+(1-a)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ ''(x)=6ax-\frac{3}{2}\end{align*}}$
となる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \rm I\sf =\int_{-1}^{\frac{1}{2}}\left(6ax-\frac{3}{2}\right)^2dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ =\int_{-1}^{\frac{1}{2}}\left(36a^2x^2-18ax+\frac{9}{4}\right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ =\left[12a^2x^3-9ax^2+\frac{9}{4}x\right]_{-1}^{\frac{1}{2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ =\frac{27}{2} a^2+\frac{27}{4}a+\frac{27}{8}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ =\frac{27}{2}\left(a+\frac{1}{4}\right)^2+\frac{81}{32}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=-\frac{1}{4}\end{align*}}$のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \rm I_{\sf min}\sf =\frac{81}{32}\end{align*}}$
このときのｆ(x)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)=-\frac{1}{4}x^3-\frac{3}{4}x^2+\frac{5}{4}x+\frac{3}{4}\end{align*}}$
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/19(月) 01:07:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .東京大 文系 2011
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