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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2011東京大 文系数学1


第1問
  
  xの3次関数f(x)=ax3+bx2+cx+dが、3つの条件
    f(1)=1
    f(-1)=-1
     $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_{-1}^1(bx^2+cx+d)dx=1\end{align*}}$
  を全て満たしているとする。このようなf(x)のなかで定積分
     $\small\sf{\begin{align*} \sf \rm I\sf =\int_{-1}^{\frac{1}{2}}\left(f\ ''(x)\right)^2dx\end{align*}}$
  を最小にするものを求め、そのときのIを求めよ。
  ただし、f"(x)はf'(x)の導関数を表す。

  
 

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/11/19(月) 01:07:00|
  2. 大学入試(数学) .関東の大学 .東京大 文系 2011
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2011東京大 文系数学2



第2問

   2(1)(2)(3).png





2011東京大 文系数学3



第3問

  p、qを2つの正の整数とする。整数a、b、cで条件

     -q≦b≦0≦a≦p ……①
      b≦c≦a   ……②

  を満たすものを考え、このような a、b、c を [a,b:c]の形に並べたものを
  (p,q)パターンと呼ぶ。
  各 (p,q)パターン [a,b:c] に対して、
     w([a,b:c])=p-q-(a+b)
  とおく。

 (1) (p,q)パターンのうち、w([a,b:c])=-qとなるものの個数を求めよ。
   また、w([a,b:c])=pとなる (p,q)パターンの個数を求めよ。


  以下、p=qの場合を考える。

 (2) sを整数とする。(p,p)パターンで w([a,b:c])=-p+sとなるものの
    個数を求めよ。

 (3) (p,p)パターンの個数を求めよ。







2011東京大 文系数学4



第4問

  座標平面上の1点 $\small\sf{\begin{align*}\sf P\left(\frac{1}{2}\ ,\ \frac{1}{4}\right)\end{align*}}$ をとる。放物線 y=x2 上の2点
  $\small\sf{\sf Q\left(\alpha,\alpha^2\right)\ ,\ R\left(\beta,\beta^2\right)}$ を3点P、Q、RがQRを底辺とする
  二等辺三角形をなすように動かすとき、△PQRの重心G(X,Y)
  の軌跡を求めよ。