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2013大阪大 理系数学5
2013/05/28 23:57



第5問

  nを3以上の整数とする。n個の球K1、K2、・・・、Knとn個の空の箱
  H1、H2、・・・、Hnがある。以下のように、K1、K2、・・・、Knの順番
  に、球を箱に1つずつ入れていく。
   まず、球K1を箱H1、H2、・・・、Hnのどれか1つに無作為に入れる。
  次に、球K2を、箱H2が空ならば箱H2に入れ、箱H2が空でなければ
  残りのn−1個の空の箱のどれか1つに入れる。
   一般に、i=2,3,・・・,nについて、球Kiを、箱Hiが空ならば箱Hiに
  入れ、箱Hiが空でなければ残りのn−i+1個の空の箱のどれか1つに
  無作為に入れる。

 (1) Knが入る箱はH1またはHnである。これを証明せよ。

 (2) Kn-1がHn-1に入る確率を求めよ。



−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
【解答】



  球Ki (i=2,3,・・・,n)の入れ方には、次の2通りの方法がある。
   (ア) 箱Hiが空ならば箱Hiに入れる。
   (イ) 箱Hiが空でなければ残りのn−i+1個の空の箱のどれか1つに
      無作為に入れる。


 (1)
   球Ki (i=2,3,・・・,n−1)を(ア)、(イ)いずれの方式で入れても、
   結果として箱Hiは空でなくなる。
   よって、Knを入れる段階では、箱Hi (i=2,3,・・・,n−1)は
   すべて既に空でなくなっているので、Knを入れることのできる箱は
   H1またはHnしかないことになる。

 (2)
   求める確率をpn(n=3,4,5,・・・・)とする。

   n=3のとき、K2がH2に入るためには、
      画像
   のように箱に球が入ればよい。
   以下、赤色の球は、(ア)の方式で入れた球を表す。
   よって、
        画像

   n=4のとき、K3がH3に入るためには、
      画像
   のように箱に球が入ればよい。
   よって、
        画像

   以上より、n≧3である任意の自然数nに対して
        画像
   であると類推できるので、これを数学的帰納法で示す。

   (@) n=3のときはOK
   (A) n=3,4,・・・・,kに対して成り立つと仮定する。
      すなわち、
        画像 ・・・・・@
      と仮定する。

      n=k+1のとき、
       事象「球Kkが箱Hkに入る」・・・(※)
     が起こる確率pk+1が 画像 になることを示せばよい。

      (a) K1がH1に入る場合
         箱には
           画像
         のように球が入るので、(※)を満たすことになり、
         その確率は、画像

      (b) K1がHm (m=2,3,・・・・,k−1)に入る場合
         K2〜Km-1は方式(ア)によりそれぞれ同じ番号の
         箱に入る。
      画像
         残ったn−m+2個の球Km〜Kn+1を
         n−m+2個の箱H1、Hm+1〜Hn+1に入れることは、
         球K1〜Kn−m+2を箱H1〜Hn−m+2に入れる場合と
         同じように考えることができるので、
         この状態で事象(※)が起こる確率は、
                 画像

      (c) K1がHkに入る場合は、明らかに(※)は起こらない。

      (d) K1がHk+1に入る場合
         箱には
          画像
         のように球が入るので、(※)を満たすことになり、
         その確率は、画像

      (a)〜(d)より、
        画像
          画像
          画像
      となり、n=k+1のときも成り立つ。

   以上より、3≦nである任意の自然数nに対して
            画像
   となる。



  これは難しいですね・・・・  

カテゴリ:大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪大 理系 2013

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